2015-安徽卷理-11 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式展开式中指定项系数的求解。解题核心在于熟练运用二项式定理的通项公式，通过化简指数部分并建立方程求出项数 $r$，最后计算组合数得出系数。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(理)） $(x^3+\frac{1}{x}{)}^7$ 的展开式中 $x^5$ 的系数是 $\underline{}$.（用数字填写答案）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项公式：利用二项式定理展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
2. 化简变量 $x$ 的指数：将通项中的 $x$ 合并，整理成 $x$ 的幂函数形式 $x^{f(r)}$。
3. 建立方程求解 $r$：令 $f(r)=5$，解出 $r$。
4. 计算系数：将 $r$ 代入通项中的常数部分（即组合数部分）求出最终结果。

✅【答案】

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35

✍【详细解析】

Abstract

第一步：写出通项公式 $(x^3+\frac{1}{x}{)}^7$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}=C_7^r\cdot (x^3{)}^{7-r}\cdot (\frac{1}{x}{)}^r$

第二步：化简指数部分 $T_{r+1}=C_7^r\cdot x^{3(7-r)}\cdot x^{-r}$ $T_{r+1}=C_7^r\cdot x^{21-3r}\cdot x^{-r}$ $T_{r+1}=C_7^r\cdot x^{21-4r}$

第三步：建立方程求解 $r$ 令 $x$ 的指数等于 5： $21-4r=5$ 解得 $4r=16⟹r=4$

第四步：计算 $x^5$ 的系数 当 $r=4$ 时，代入系数部分： $C_7^4=C_7^3=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=35$

故答案为：35。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心公式：二项式通项 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 是解决此类问题的唯一“钥匙”。注意 $r$ 的取值范围是 $0,1,\dots ,n$。
2. 易错陷阱：
   • 幂的运算规则：$(x^a{)}^b=x^{ab}$，而不要误算为 $x^{a+b}$。
   • 符号问题：若括号内为减号，如 $(a-b{)}^n$，在代入通项时 $b$ 应带上负号，即 $(-b{)}^r$。
3. 计算技巧：利用组合数的对称性 $C_n^r=C_n^{n-r}$ 可以简化高阶组合数的计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 如果括号内是三项式，如 $(1+x+x^2{)}^n$，可以通过将其看作 $[1+(x+x^2){]}^n$ 再次展开，或者使用多项式定理处理。
• 变式思考: 若要求展开式中的常数项，只需令 $x$ 的指数 $21-4r=0$，解得 $r=5.25$，由于 $r$ 必须为整数，这说明原展开式中不存在常数项。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练(Links)

• 2013年安徽卷理-11
• 2014-安徽卷理-13 填-二项展开式
• 2012-安徽卷理-07