2015-安徽卷理-13 填-程序框图

本题导读

本题考查程序框图的执行过程。通过模拟循环结构的运行步骤，观察变量 $a$ 和 $n$ 的数值变化，并结合绝对值不等式的判断条件，最终确定输出结果。题目背景暗含了利用连分数逼近 $\sqrt{2}$ 的算法。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(理)） 执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的 $n$ 为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 初始化：起始状态 $a=1,n=1$。
2. 条件判定：判断 $|a-1.414|⩾0.005$ 是否成立。
3. 循环过程：
   • 若条件为“是”，则执行赋值语句 $a=1+\frac{1}{1+a}$ 和 $n=n+1$，然后返回判定框。
   • 若条件为“否”，则跳出循环，输出当前的 $n$ 值。
4. 模拟计算：手动计算前几次循环的结果，注意分数的计算以及与 $1.414$ 的差值大小。

✅【答案】

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4

✍【详细解析】

Abstract

初始状态：$a=1,n=1$。 判断 $|1-1.414|=0.414⩾0.005$。条件为“是”，进入循环。

第 1 次循环： $a=1+\frac{1}{1+1}=1.5$； $n=1+1=2$。 判断 $|1.5-1.414|=0.086⩾0.005$。条件为“是”，进入循环。

第 2 次循环： $a=1+\frac{1}{1+1.5}=1+\frac{1}{2.5}=1+0.4=1.4$； $n=2+1=3$。 判断 $|1.4-1.414|=0.014⩾0.005$。条件为“是”，进入循环。

第 3 次循环： $a=1+\frac{1}{1+1.4}=1+\frac{1}{2.4}=1+\frac{5}{12}=\frac{17}{12}\approx 1.4167$； $n=3+1=4$。 计算偏差：$|\frac{17}{12}-1.414|\approx |1.4167-1.414|=0.0027$。 判断 $0.0027⩾0.005$。条件为“否”，退出循环。

输出结果： 输出 $n=4$。

故答案为：4。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心逻辑：解决算法问题的关键在于“步步为营”，准确记录每一次循环后的变量状态。
2. 计算陷阱：本题涉及分数与小数的比较，计算 $\frac{17}{12}$ 时需保留足够的小数位数（至少三位）以确保判断准确。
3. 背景知识：此程序实际上是计算 $\sqrt{2}$ 的渐数数列。数列 $1,\frac{3}{2},\frac{7}{5},\frac{17}{12}\dots$ 越来越接近 $1.41421\dots$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 如果对计算精度要求更高（如把 $0.005$ 改为 $0.001$），则需要继续进行下一次循环，$a=1+\frac{1}{1+17/12}=1+\frac{12}{29}=\frac{41}{29}\approx 1.4138$。
• 变式思考: 若将判定条件改为 $|a^2-2|<ϵ$，这也是一种常见的求算术平方根的算法。

🔗【关联脉络】

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类题演练(Links)

• 2009-安徽卷理-13
• 2013年安徽卷理-2
• 2012-安徽卷理-03