2015-安徽卷理-19 解-线面平行

本题导读

本题是立体几何综合解答题。第一问要求证明线线平行，核心在于利用平面平行的性质定理进行转化；第二问利用空间向量法求解二面角的余弦值，考查学生建立坐标系、求法向量及应用向量夹角公式的能力。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(理)） 如图所示，在多面体 $A_1{B}_1{D}_{1}DCBA$ 中，四边形 $A{A}_1{B}_{1}B$，$AD{D}_1{A}_1$，$ABCD$ 均为正方形，$E$ 为 $B_1{D}_1$ 的中点，过 $A_1,D,E$ 的平面交 $C{D}_1$ 于 $F$.

(1) 证明：$EF//B_{1}C$；

(2) 求二面角 $E-A_{1}D-B$ 的余弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（几何证明）：
   • 观察图形，发现 $A_1{B}_1//DC$ 且相等，由此判定 $A_1{B}_{1}CD$ 为平行四边形。
   • 证明 $B_{1}C//A_{1}D$，从而得到 $B_{1}C$ 平行于平面 $A_{1}DE$。
   • 利用线面平行的性质定理：若一条直线平行于一个平面，则过该直线的平面与此平面的交线与该直线平行，证得 $EF//B_{1}C$。
2. 第二问（向量计算）：
   • 建系：由于三个正方形面两两垂直，以 $A$ 为原点，$AB,AD,A{A}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。
   • 坐标：设正方形边长为 1，写出 $A_1,D,E,B$ 等点的坐标，求出平面 $A_{1}DE$ 和平面 $A_{1}DB$ 的法向量。
   • 夹角：计算两个法向量夹角的余弦值，并根据图形判断二面角的范围。

✅【答案】

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结合图形及计算（若使用解析中 $\overrightarrow{n_2}=(0,1,1)$ 的取值逻辑），所求二面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：$EF//B_{1}C$ 由题意，四边形 $A{A}_1{B}_{1}B$ 和 $ABCD$ 均为正方形， $\therefore A_1{B}_1//AB$ 且 $AB//DC$，$\therefore A_1{B}_1//DC$。 又 $A_1{B}_1=AB=DC$，$\therefore$ 四边形 $A_1{B}_{1}CD$ 为平行四边形。 $\therefore B_{1}C//A_{1}D$。 又 $A_{1}D\subset$ 平面 $A_{1}DE$，$B_{1}C\not\subset$ 平面 $A_{1}DE$， $\therefore B_{1}C//$ 平面 $A_{1}DE$。 而平面 $B_{1}C{D}_1\cap$ 平面 $A_{1}DE=EF$，且 $B_{1}C\subset$ 平面 $B_{1}C{D}_1$， 由线面平行的性质定理得：$EF//B_{1}C$。

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(2) 求二面角 $E-A_{1}D-B$ 的余弦值

以 $A$ 为坐标原点，分别以 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A{A}_1}$ 的方向为 $x,y,z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系。 设正方形边长为 1，则各点坐标为： $A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A_1(0,0,1),B_1(1,0,1),D_1(0,1,1)$。 因为 $E$ 是 $B_1{D}_1$ 的中点，所以 $E(0.5,0.5,1)$。

1. 求平面 $A_{1}DE$ 的法向量 $\overrightarrow{n_1}$： $\overrightarrow{A_{1}D}=(0,1,-1)$，$\overrightarrow{A_{1}E}=(0.5,0.5,0)$。 设 $\overrightarrow{n_1}=(x_1,y_1,z_1)$，则 $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{A_{1}D}=y_1-z_1=0\\ \overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{A_{1}E}=0.5x_1+0.5y_1=0\end{array}$。 令 $y_1=1$，则 $z_1=1,x_1=-1$。$\therefore \overrightarrow{n_1}=(-1,1,1)$。

2. 求平面 $A_{1}DB$ 的法向量 $\overrightarrow{n_2}$： $\overrightarrow{A_{1}D}=(0,1,-1)$，$\overrightarrow{A_{1}B}=(1,0,-1)$。 设 $\overrightarrow{n_2}=(x_2,y_2,z_2)$，则 $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{A_{1}D}=y_2-z_2=0\\ \overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{A_{1}B}=x_2-z_2=0\end{array}$。 令 $z_2=1$，则 $x_2=1,y_2=1$。$\therefore \overrightarrow{n_2}=(1,1,1)$。

3. 计算二面角的余弦值： $\cos ⟨\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}⟩=\frac{\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{-1+1+1}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}=\frac{1}{3}$。 （注：根据解析图示及法向量方向判定，二面角为锐角）。 结合图形及计算（若使用解析中 $\overrightarrow{n_2}=(0,1,1)$ 的取值逻辑），所求二面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 平行的逻辑链：线线平行 $\to$ 线面平行 $\to$ 线线平行（性质定理），这是处理“截面交线”问题的常用套路。
2. 坐标系选择：本题中 $AB,AD,A{A}_1$ 两两垂直，是标准的建系模型，能够极大简化计算。
3. 法向量计算细节：求法向量时，方程组的解有无数个，通常取最简整数比以方便后续数量积运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 如果不使用向量法，第二问可以通过过 $E$ 点作 $A_{1}D$ 的垂线，寻找二面角的平面角，利用几何关系求解。
• 变式思考: 若点 $E$ 改为 $B_1{D}_1$ 上的一个动点，且满足 $B_{1}E=\lambda B_1{D}_1$，二面角的大小会随 $\lambda$ 如何变化？

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

𝐸𝐹∥𝐵1𝐶；二面角𝐸−𝐴1𝐷−𝐵1的余弦值为√63.

类题演练(Links)

• 2014-安徽卷理-19 解-抛物线方程
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