2015-山东卷文-10 单-分段函数

本题导读

先算内层 $f\left(\frac{5}{6}\right)$，但 $\frac{5}{6}<1$ 落在 $3x-b$ 段，结果含 $b$；再讨论它落入哪一段解出 $b$，最后回代检验。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(文)） 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x-b,& x<1,\\ 2^x,& x⩾1,\end{array}$ 若 $f\left(f\left(\frac{5}{6}\right)\right)=4$，则 $b=$ ()

A. $1$　　　　　　　B. $\frac{7}{8}$　　　　　　　C. $\frac{3}{4}$　　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

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先算内层 $f\left(\frac{5}{6}\right)$，但 $\frac{5}{6}<1$ 落在 $3x-b$ 段，结果含 $b$；再讨论它落入哪一段解出 $b$，最后回代检验。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一层：$\frac{5}{6}<1$，故 $f\left(\frac{5}{6}\right)=\frac{5}{2}-b$。

分段讨论：

① 若 $\frac{5}{2}-b⩾1$（即 $b⩽\frac{3}{2}$），则 $f\left(\frac{5}{2}-b\right)=2^{\frac{5}{2}-b}=4=2^2$，得 $\frac{5}{2}-b=2$，$b=\frac{1}{2}$，满足 $b⩽\frac{3}{2}$，成立。

② 若 $\frac{5}{2}-b<1$（即 $b>\frac{3}{2}$），则 $f\left(\frac{5}{2}-b\right)=3\left(\frac{5}{2}-b\right)-b=\frac{15}{2}-4b=4$，得 $b=\frac{7}{8}$，与 $b>\frac{3}{2}$ 矛盾，舍去。

综上 $b=\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数的复合求值；分类讨论思想

核心方法：由内向外代入，按落点分段讨论并回代检验

避坑指南：（1）讨论不能漏：两种落点都要算；（2）②中解出的 $b=\frac{7}{8}$ 与前提 $b>\frac{3}{2}$ 矛盾，必须舍去——“解出来 ≠ 成立”；（3）$2^x$ 段是指数不是 $2x$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段函数复合求值是山东卷的传统小题，考查”分段 + 分类 + 检验”的完整逻辑链。

结论推广：若把外层条件改成 $f\left(f\left(f\left(\frac{5}{6}\right)\right)\right)$，方法不变，层数增加而已；讨论树每层最多两支。

方法推广：“由内向外 + 讨论落点 + 回代检验”三步，适用于一切分段复合函数方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 05.02 函数的四大性质

类题演练(Links)

• 2015-山东卷理-10 单-分段函数
• 2016-山东卷理-09
• 2009-山东卷理-10