2015-山东卷理-04 单-向量数量积

本题导读

考查平面向量数量积的定义及几何意义，结合菱形的性质进行计算。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(理)） 已知菱形 $ABCD$ 的边长为 $a$, $\angle ABC=60^{\circ }$, 则 $\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{CD}=$ ()

A. $-\frac{3}{2}{a}^2$　　　　　B. $-\frac{3}{4}{a}^2$　　　　　C. $\frac{3}{4}{a}^2$　　　　　D. $\frac{3}{2}{a}^2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立以 $C$ 为起点的向量基底，或直接通过向量的线性运算与夹角公式求解。
2. 利用向量夹角及模长代入计算。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

设以 $C$ 为起点的向量 $\overrightarrow{CD}={\vec{d}}^{\prime }$, $\overrightarrow{CB}={\vec{b}}^{\prime }$，则 $|{\vec{d}}^{\prime }|=|{\vec{b}}^{\prime }|=a$，且它们的夹角为 $\angle BCD=120^{\circ }$。 由向量加减法可得 $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}={\vec{d}}^{\prime }-{\vec{b}}^{\prime }$。 因此，$\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{CD}=({\vec{d}}^{\prime }-{\vec{b}}^{\prime })\cdot {\vec{d}}^{\prime }=({\vec{d}}^{\prime }{)}^2-{\vec{b}}^{\prime }\cdot {\vec{d}}^{\prime }$。 代入数值可得：$a^2-a\cdot a\cdot \cos 120^{\circ }=a^2-a^2\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}{a}^2$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量数量积的计算与几何图形结合。
2. 核心方法：基底法与向量线性运算。
3. 避坑指南：注意向量起点的统一与夹角的正确选取。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典几何图形与向量交汇题。
2. 结论推广: 熟练运用平行四边形法则化简向量。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练(Links)

• 2014-山东卷理-12 填-向量数量积
• 2014-山东卷理-16 解-向量坐标运算
• 2013年山东卷理-15