2015-山东卷理-08 单-正态分布

本题导读

考查正态分布中变量在特定区间内取值的概率计算，重点考查对称性应用。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(理)） 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 $N(0,3^2)$，从中随机取一件，其长度误差落在区间 $(3,6)$ 内的概率为 () （附：若随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $P(\mu -\sigma <\xi <\mu +\sigma )=68.26\%$，$P(\mu -2\sigma <\xi <\mu +2\sigma )=95.44\%$） ()

A. $4.56\%$　　　　B. $13.59\%$　　　　C. $27.18\%$　　　　D. $31.74\%$

🔍【思路分析】

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1. 明确正态分布的参数 $\mu =0$, $\sigma =3$，区间 $(3,6)$ 对应于 $(\mu +\sigma ,\mu +2\sigma )$。
2. 利用已知条件中的一倍标准差和两倍标准差区间概率，通过对称性和差值计算目标概率。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由题意知 $\mu =0$, $\sigma =3$。 区间 $(3,6)$ 即为 $(\mu +\sigma ,\mu +2\sigma )$。 根据正态分布的性质： $P(\mu -\sigma <\xi <\mu +\sigma )=68.26\%⟹P(\mu <\xi <\mu +\sigma )=\frac{68.26\%}{2}=34.13\%$。 $P(\mu -2\sigma <\xi <\mu +2\sigma )=95.44\%⟹P(\mu <\xi <\mu +2\sigma )=\frac{95.44\%}{2}=47.72\%$。 因此，区间 $(\mu +\sigma ,\mu +2\sigma )$ 内的概率为： $P(\mu +\sigma <\xi <\mu +2\sigma )=P(\mu <\xi <\mu +2\sigma )-P(\mu <\xi <\mu +\sigma )=47.72\%-34.13\%=13.59\%$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正态分布概率计算。
2. 核心方法：对称区间概率差值法。
3. 避坑指南：注意正态曲线关于均值 $\mu$ 对称，计算单侧概率时需除以 $2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考概率统计中的常规考点。
2. 结论推广: 熟练掌握 $P(\mu -k\sigma <\xi <\mu +k\sigma )$ 的计算及转化。

🔗【关联脉络】

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