2015-广东卷理-08 单-空间位置关系

本题导读

本题是 2015 年广东卷理科选择题的压轴题，考查空间想象能力和对维度属性的深刻理解。核心在于探索在一个给定的三维空间内，能够使任意两点间距离均相等的点集数量上限。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(理)） 若空间中 $n$ 个不同的点两两距离都相等，则正整数 $n$ 的取值 ()

A. 大于 5　　　B. 等于 5　　　C. 至多等于 4　　　D. 至多等于 3

🔍【思路分析】

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1. 维度推演：
   • 在 1 维（直线） 上：满足两两距离相等的点至多有 2 个（线段的两个端点）。
   • 在 2 维（平面） 上：满足两两距离相等的点至多有 3 个（构成一个等边三角形）。
   • 在 3 维（空间） 上：满足两两距离相等的点至多有 4 个（构成一个正四面体）。
2. 验证 $n=4$：正四面体的四个顶点，任意两点间的距离均等于棱长，符合题意。
3. 探索 $n=5$：若要在空间中增加第 5 个点，使其到前 4 个点的距离都相等，该点必须是正四面体的中心。然而，中心到顶点的距离并不等于正四面体的棱长，因此空间中不存在两两距离都相等的 5 个点。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

1. 构建几何模型：
   • 当 $n=2$ 时，两个点确定一条线段。
   • 当 $n=3$ 时，三个点构成一个等边三角形，满足两两距离相等。
   • 当 $n=4$ 时，将第 4 个点置于等边三角形中心的正上方，使其到三角形三个顶点的距离等于等边三角形的边长。此时这四个点构成一个正四面体。正四面体有 6 条棱，且 6 条棱长度全部相等。
2. 理论分析：
   • 在 $k$ 维空间中，两两距离相等的点的最大数量为 $k+1$。
   • 题目设定在“空间中”，即 3 维空间。
   • 因此，$n$ 的最大值为 $3+1=4$。
3. 排除更高项：

   • 若要在 3 维空间找到 5 个点满足要求，意味着需要进入 4 维空间构造超正四面体。在 3 维物理空间内无法实现。

   • 所以，$n$ 只能取 1, 2, 3, 4，即至多等于 4。

最终答案为：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心几何体：正四面体是空间中两两等距点的极限模型。
• 维度规律：这是一个经典的数学结论，即 $k$ 维空间中单纯形（Simplex）的顶点数。
• 审题注意：题目问的是 $n$ 的取值范围。由于 $n=4$ 是可达的最大值，所以 $n$ 可以是 2, 3, 4，表述为“至多等于 4”。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 在 $n$ 维欧几里得空间 ${\mathbb{R}}^n$ 中，两两等距点集的最大基数是 $n+1$。
• 方法推广:
  • 向量法证明：设 $n$ 个单位向量 ${\vec{v}}_1,\dots ,{\vec{v}}_n$，若任意 ${\vec{v}}_i\cdot {\vec{v}}_j=\cos \theta$，可通过 Gram 矩阵的秩来证明维度限制。
• 相关知识点:
  • 正多面体：空间中只有 5 种正多面体，但只有正四面体的所有顶点两两等距。

下一步建议： 2015广东卷理科选择题已全部录入完毕。是否继续录入 第 9 题（填空题第一题，通常涉及初等函数的运算或平面向量）？

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练(Links)

• 2013年广东卷理-6
• 2014-广东卷理-18 解-线面垂直
• 2014-广东卷理-05 单-空间向量的夹角