2015-广东卷理-17 解-抽样方法

本题导读

本题考查统计学中的基础概念应用。重点在于掌握系统抽样的分段原则，熟练运用平均数与方差的计算公式，并能够根据统计量对原始数据进行区间筛选与占比计算。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(理)） 某工厂 36 名工人的年龄数据如下表.

(1) 用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44，列出样本的年龄数据；

(2) 计算(1)中样本的平均值 $\bar{x}$ 和方差 $s^2$；

(3) 36 名工人中年龄在 $\bar{x}-s$ 与 $\bar{x}+s$ 之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到 0.01%）？

🔍【思路分析】

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1. 第一问：计算抽样间距 $k=N/n=36/9=4$。根据第一段抽中的年龄 44 找到其原始编号（编号 2），按照编号 $2+4m$ ($m=0,1,\dots ,8$) 提取对应年龄。
2. 第二问：代入算术平均数公式 $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum x_i$ 和方差公式 $s^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$ 计算。
3. 第三问：算出 $s$ 的值，确定区间 $(\bar{x}-s,\bar{x}+s)$。在原始 36 个数据中通过“数数”法统计落入该区间的人数，最后除以 36 得到百分比。

✅【答案】

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所占百分比为： $\frac{23}{36}\times 100\%\approx 63.89\%$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由题意，将 36 名工人分为 9 组，每组 $36÷9=4$ 人。 第一分段（编号 1-4）中抽到的年龄为 44，对应工人编号为 2。 故抽取的工人编号构成等差数列：$2,6,10,14,18,22,26,30,34$。 对照表格，样本的年龄数据为：$44,40,36,43,36,37,44,43,37$。

(2) 平均值计算： $\bar{x}=\frac{44+40+36+43+36+37+44+43+37}{9}=\frac{360}{9}=40$ 方差计算： $s^2=\frac{1}{9}[(44-40{)}^2+(40-40{)}^2+(36-40{)}^2+(43-40{)}^2+(36-40{)}^2+(37-40{)}^2+(44-40{)}^2+(43-40{)}^2+(37-40{)}^2]$ $s^2=\frac{1}{9}[16+0+16+9+16+9+16+9+9]=\frac{100}{9}$

(3) 由（2）得 $s=\sqrt{\frac{100}{9}}=\frac{10}{3}\approx 3.33$。 则区间 $(\bar{x}-s,\bar{x}+s)$ 为 $(40-\frac{10}{3},40+\frac{10}{3})$，即 $(36.67,43.33)$。 对应年龄整数值为：$37,38,39,40,41,42,43$。 对照原始数据表，在该范围内的人数有： 40(3人), 41(2人), 39(4人), 38(3人), 43(4人), 37(4人), 42(3人)。 累计人数为：$3+2+4+3+4+4+3=23$ 人。 所占百分比为： $\frac{23}{36}\times 100\%\approx 63.89\%$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 抽样精准度：系统抽样的核心是“等距”，起始项确定后，后续项必须严格遵守间距。
• 计算量控制：方差计算时，观察数据与平均值的离差，若离差重复（如出现多次 4 或 3），可采用合并同类项相加。
• 数据筛选：第三问在 36 个数据中筛选时，建议采用划线标记法，防止漏数或重复。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 在正态分布中，落在 $(\mu -\sigma ,\mu +\sigma )$ 内的概率约为 $68.26\%$。本题结果 $63.89\%$ 与此理论值接近，说明该厂工人年龄分布大致对称。
• 方法推广:
  • 分层抽样：若工厂按工种或性别分层，则应按比例抽取。
• 相关知识点:

  • - **标准差**：方差的算术平方根，反映数据的波动幅度。
    

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练(Links)

• 2014-广东卷理-17 解-频数、频率计算
• 2013年广东卷理-17
• 2009-广东卷理-17