2015-新课标II卷理-05 单-分段函数

本题导读

本题考查分段函数的求值问题。核心在于根据自变量 $x$ 的不同取值范围准确选择对应的解析式进行代入，并结合指对数的运算性质进行化简。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅱ(理)） 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}1+{\log }_2(2-x),& x<1\\ 2^{x-1},& x\ge 1\end{array}$，则 $f(-2)+f({\log }_{2}12)=$ ()

A. 3　　　　　　　B. 6　　　　　　　C. 9　　　　　　　D. 12

🔍【思路分析】

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1. 分项求值：分别计算 $f(-2)$ 和 $f({\log }_{2}12)$ 的结果。
2. 选择区间：
   • 对于 $f(-2)$，由于 $-2<1$，应代入上段解析式进行计算。
   • 对于 $f({\log }_{2}12)$，需先判断 ${\log }_{2}12$ 的大小。因为 ${\log }_{2}12>{\log }_{2}2=1$，应代入下段解析式进行计算。
3. 运用性质：利用对数的运算性质和指对恒等式进行化简。
4. 求和：将两部分结果相加得出最终答案。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算 $f(-2)$ 因为 $-2<1$，代入上段解析式 $f(x)=1+{\log }_2(2-x)$： $f(-2)=1+{\log }_2[2-(-2)]=1+{\log }_{2}4$ 由于 $4=2^2$，故 ${\log }_{2}4=2$。 $f(-2)=1+2=3$

第二步：计算 $f({\log }_{2}12)$ 因为 $12>2$，所以 ${\log }_{2}12>1$，代入下段解析式 $f(x)=2^{x-1}$： $f({\log }_{2}12)=2^{{\log }_{2}12-1}$ 根据指数幂的运算法则 $a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$： $f({\log }_{2}12)=\frac{2^{{\log }_{2}12}}{2^1}$ 利用指对恒等式 $a^{{\log }_{a}N}=N$： $f({\log }_{2}12)=\frac{12}{2}=6$

第三步：求和 $f(-2)+f({\log }_{2}12)=3+6=9$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：分段函数“分段处理”的原则；指数与对数运算性质的灵活运用。
• 核心方法：代入法。先看区间选公式，后代数值做化简。
• 避坑指南：计算 $f({\log }_{2}12)$ 时，若不熟悉指对恒等式，也可以将 $2^{{\log }_{2}12-1}$ 看作 $2^{{\log }_{2}12-{\log }_{2}2}=2^{{\log }_2(12/2)}=2^{{\log }_{2}6}=6$。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 对于分段函数求值，第一步永远是判断自变量所属的区间，这是确保正确选择解析式的关键。 *方法推广: 遇到类似 $a^{{\log }_{a}N}$ 的形式，直接利用恒等式可以极大提升运算速度。

• 相关知识点：对数函数的单调性判断、对数的换底公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练(Links)

• 2015-天津卷理-7
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