2015-新课标II卷理-08 单-程序框图

本题导读

本题考查程序框图的逻辑执行过程。通过模拟中国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，要求学生准确理解循环结构和条件判定，最终求得两个正整数的最大公约数。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅱ(理)） 程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的 $a,b$ 分别为 14，18，则输出的 $a=$ ()

A. 0　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 14

🔍【思路分析】

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1. 识别逻辑结构：该程序是一个带有嵌套判断的循环结构。大循环条件是 $a\ne b$，小循环通过判断 $a$ 与 $b$ 的大小来执行减法操作。
2. 理解算法实质：该流程图实现的是“更相减损术”，即不断用较大的数减去较小的数，直到两个数相等。这个相等的数就是原两数的最大公约数。
3. 逐步模拟执行：
   • 输入：$a=14,b=18$。
   • 第一次判断：$14\ne 18$ 为“是”，进入小判断。
   • 小判断：$14>18$ 为“否”，执行 $b=b-a$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

根据程序框图逐步模拟运行过程：

初始状态：$a=14,b=18$

1. 第一轮循环：
   • 判断 $a\ne b$？(14 $\ne$ 18) $\to$ 是。
   • 判断 $a>b$？(14 $>$ 18) $\to$ 否。
   • 执行 $b=b-a=18-14=4$。
   • 当前状态：$a=14,b=4$。
2. 第二轮循环：
   • 判断 $a\ne b$？(14 $\ne$ 4) $\to$ 是。
   • 判断 $a>b$？(14 $>$ 4) $\to$ 是。
   • 执行 $a=a-b=14-4=10$。
   • 当前状态：$a=10,b=4$。
3. 第三轮循环：
   • 判断 $a\ne b$？(10 $\ne$ 4) $\to$ 是。
   • 判断 $a>b$？(10 $>$ 4) $\to$ 是。
   • 执行 $a=a-b=10-4=6$。
   • 当前状态：$a=6,b=4$。
4. 第四轮循环：
   • 判断 $a\ne b$？(6 $\ne$ 4) $\to$ 是。
   • 判断 $a>b$？(6 $>$ 4) $\to$ 是。
   • 执行 $a=a-b=6-4=2$。
   • 当前状态：$a=2,b=4$。
5. 第五轮循环：
   • 判断 $a\ne b$？(2 $\ne$ 4) $\to$ 是。
   • 判断 $a>b$？(2 $>$ 4) $\to$ 否。
   • 执行 $b=b-a=4-2=2$。
   • 当前状态：$a=2,b=2$。
6. 结束循环：
   • 判断 $a\ne b$？(2 $\ne$ 2) $\to$ 否。
   • 跳出循环，输出 $a=2$。

答案：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：程序框图中的赋值语句和循环结构。
• 核心方法：逐步模拟法。对于简单的循环程序，列表跟踪变量值的变化是最稳妥的方法。
• 避坑指南：注意判断框中“是”与“否”对应的路径，不要将 $a=a-b$ 和 $b=b-a$ 弄反。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 该算法输出的是 $a,b$ 的最大公约数。$\gcd (14,18)=2$。 *方法推广: 遇到类似的程序框图，若能识别出其背后的数学模型（如辗转相除法、二分法、累加求和等），可以快速得出答案。

• 相关知识点：辗转相除法、中国古代数学成就。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则

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