2015-新课标II卷理-10 单-函数图象

本题导读

本题是一个动点轨迹结合三角函数的图象选择题。核心考查将几何动态距离问题转化为函数表达式，并利用对称性、单调性及特殊点值进行图象筛选。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅱ(理)） 如图，长方形 $ABCD$ 的边 $AB=2$，$BC=1$，$O$ 是 $AB$ 的中点，点 $P$ 沿着边 $BC$，$CD$ 与 $DA$ 运动，记 $\angle BOP=x$.将动点 $P$ 到 $A,B$ 两点距离之和表示为 $x$ 的函数 $f(x)$，则 $y=f(x)$ 的图象大致为 ()

🔍【思路分析】

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1. 分段讨论轨迹：点 $P$ 的运动轨迹由三段折线组成，对应 $x$ 的三个取值范围。
   • $P$ 在 $BC$ 上：$0\le x\le \frac{\pi }{4}$（因为 $BC=1,OB=1,\tan x_{max}=1$）。
   • $P$ 在 $CD$ 上：$\frac{\pi }{4}\le x\le \frac{3\pi }{4}$。
   • $P$ 在 $DA$ 上：$\frac{3\pi }{4}\le x\le \pi$。
2. 利用对称性：由于图形关于 $AB$ 的垂直平分线（即经过 $O$ 点垂直于 $AB$ 的直线）对称，点 $A,B$ 的位置也对称，故函数 $f(x)$ 的图象应关于 $x=\frac{\pi }{2}$ 对称。
3. 关键点取值：
   • 当 $x=\frac{\pi }{2}$ 时，$P$ 位于 $CD$ 的中点，$PA+PB=2\times \sqrt{1^2+1^2}=2\sqrt{2}\approx 2.828$。
   • 当 $x=\frac{\pi }{4}$ 时，$P$ 位于点 $C$，$PA+PB=\sqrt{2^2+1^2}+1=\sqrt{5}+1\approx 2.236+1=3.236$。
4. 排除法：对比 $x=\frac{\pi }{2}$ 和 $x=\frac{\pi }{4}$ 的函数值。由于 $f(\frac{\pi }{4})>f(\frac{\pi }{2})$，说明在 $[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}]$ 段函数呈下降趋势，排除 A、C、D。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：判定对称性 长方形 $ABCD$ 及点 $A,B,O$ 构成关于直线 $x=\frac{\pi }{2}$ 的对称结构。动点 $P$ 从 $B$ 侧运动到 $A$ 侧，$PA+PB$ 的数值变化在前半程和后半程应完全一致。故图象关于 $x=\frac{\pi }{2}$ 对称。 

第二步：计算特殊点的值

• 点 $P$ 在 $C$ 点时（此时 $\tan x=\frac{BC}{OB}=1⟹x=\frac{\pi }{4}$）： $PB=BC=1$； $PA=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$； $f(\frac{\pi }{4})=\sqrt{5}+1\approx 3.24$。
• 点 $P$ 在 $CD$ 中点时（此时 $x=\frac{\pi }{2}$）： 设中点为 $M$，则 $M$ 到 $AB$ 的距离为 1，$AM=BM=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$； $f(\frac{\pi }{2})=2\sqrt{2}\approx 2.83$。

第三步：图象筛选 比较发现 $f(\frac{\pi }{4})>f(\frac{\pi }{2})$。

• 选项 A：$x=\frac{\pi }{2}$ 处是极大值，与 $2.83<3.24$ 矛盾，排除。
• 选项 C、D：图象在 $x=\frac{\pi }{2}$ 处不是局部的极小值点或对称中心不符，排除。
• 选项 B：图象在 $x=\frac{\pi }{4}$ 处有峰值，在 $x=\frac{\pi }{2}$ 处下凹形成极小值，且为非线性弧线（符合根号下正切平方的函数特征），符合要求。

答案：B 

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：动态几何中的函数建模；三角函数与几何距离的结合。
• 核心方法：特殊点对比法。在复杂函数图象选择题中，通过计算端点或对称轴点的值往往能快速排除 2-3 个错误项。
• 避坑指南：注意 $x$ 的几何含义是角度。当 $P$ 在 $BC$ 段运动时，$PB=\tan x$，而 $PA$ 是根据勾股定理得到的非线性表达式，故图象不能是直线段（排除 C）。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若点 $P$ 在一直线上运动，其到两定点距离之和 $PA+PB$ 的最小值点通常出现在 $P$ 位于两定点连线的垂直平分线上。 *方法推广: 遇到“图象大致为”的题目，策略优先级为：对称性 $\to$ 单调性 $\to$ 特殊点 $\to$ 导数符号。

• 相关知识点：正切函数定义、勾股定理、函数图象变换。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

• 2022甲卷文-07
• 2022-全国甲卷-5
• 2015-上海卷理-13 填-正弦型函数