2015-新课标I卷文-05 单-椭圆与抛物线

本题导读

双曲线拼接题：抛物线给焦点（定 $c$），离心率给 $a$，准线与椭圆的交点给 $|AB|$。三步各管一段。

📌【题干】

Question

（2015年新课标I卷(文)） 已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点，离心率为 $\frac{1}{2}$，$E$ 的右焦点与抛物线 $C:y^2=8x$ 的焦点重合，$A,B$ 是 $C$ 的准线与 $E$ 的两个交点，则 $|AB|=$ ()

A. $3$　　　　　　　B. $6$　　　　　　　C. $9$　　　　　　　D. $12$

🔍【思路分析】

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1. $y^2=8x$ 的焦点 $(2,0)$、准线 $x=-2$。
2. $c=2$，$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\Rightarrow a=4$，$b^2=16-4=12$。
3. 把 $x=-2$ 代入椭圆求 $y=\pm 3$，$|AB|=6$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=8x$ 的焦点为 $(2,0)$，准线为 $x=-2$，故椭圆的 $c=2$.

由 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$ 得 $a=4$，$b^2=a^2-c^2=12$，椭圆方程为

$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1.$

将准线 $x=-2$ 代入椭圆：$\frac{4}{16}+\frac{y^2}{12}=1\Rightarrow y^2=9\Rightarrow y=\pm 3$.

所以 $A(-2,-3)$，$B(-2,3)$，$|AB|=6$，选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的焦点与准线；椭圆的标准方程与离心率；直线与椭圆相交的弦长。

2. 核心方法：“两种曲线拼接时抓公共量”：本题公共量是焦点横坐标 $c=2$。

3. 避坑指南：① 准线是 $x=-\frac{p}{2}=-2$，别把 $8x$ 的 $8$ 当成 $2p$ 用错；② $|AB|$ 是竖直弦长，等于 $2|y|$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：“圆锥曲线之间的拼接”是全国卷小题中档题的常见结构，2014 年新课标Ⅰ理第 4 题（双曲线+距离）同型。

2. 结论推广: 若准线改为 $x=-4$，代入得 $y^2=12\left(1-\frac{16}{16}\right)=0$，两交点重合——准线必须在椭圆内部（$|x|<a$）才有两交点。

3. 方法推广: 多曲线拼接题的通法：列一张”基本量表”（焦点、准线、离心率、方程），先把每条曲线的标准量算清再联立。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2016-全国卷I文-5