2015-新课标I卷理-05 单-双曲线性质

本题导读

本题将双曲线的方程与向量的数量积运算相结合。核心在于通过焦点坐标将向量积条件转化为关于点 $M$ 坐标的不等式，再利用点在曲线上这一隐含条件实现消元，从而求得纵坐标的取值范围。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅰ(理)） 已知 $M(x_0,y_0)$ 是双曲线 $C：\frac{x^2}{2}-y^2=1$ 上的一点，$F_1,F_2$ 是 $C$ 的左、右两个焦点.若 $\overrightarrow{M{F}_1}\cdot \overrightarrow{M{F}_2}<0$，则 $y_0$ 的取值范围是 ()

A. $(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3})$　B. $(-\frac{\sqrt{3}}{6},\frac{\sqrt{3}}{6})$　C. $(-\frac{2\sqrt{2}}{3},\frac{2\sqrt{2}}{3})$　D. $(-\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3})$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定基本参数：从双曲线方程 $\frac{x^2}{2}-y^2=1$ 出发，求出半焦距 $c$。
2. 向量坐标化：设定点 $M$ 及焦点 $F_1,F_2$ 的坐标，利用向量减法表示 $\overrightarrow{M{F}_1}$ 与 $\overrightarrow{M{F}_2}$。
3. 构建不等式：利用数量积的坐标公式 $x_1{x}_2+y_1{y}_2<0$ 建立关于 $x_0,y_0$ 的不等式。
4. 代换消元：利用点 $M$ 在双曲线上满足的方程 $x_0^2=2(1+y_0^2)$，将不等式转化为仅含 $y_0$ 的二次不等式求解。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

1. 求解焦点坐标： 对于双曲线 $\frac{x^2}{2}-y^2=1$，$a^2=2,b^2=1$。 则 $c^2=a^2+b^2=2+1=3$，故焦点为 $F_1(-\sqrt{3},0),F_2(\sqrt{3},0)$。
2. 计算向量数量积： $\overrightarrow{M{F}_1}=(-\sqrt{3}-x_0,-y_0)$，$\overrightarrow{M{F}_2}=(\sqrt{3}-x_0,-y_0)$。 $\overrightarrow{M{F}_1}\cdot \overrightarrow{M{F}_2}=(-\sqrt{3}-x_0)(\sqrt{3}-x_0)+(-y_0)(-y_0)=x_0^2-3+y_0^2$。
3. 代入曲线方程： 由已知条件 $\overrightarrow{M{F}_1}\cdot \overrightarrow{M{F}_2}<0$，得 $x_0^2+y_0^2-3<0$。 又点 $M$ 在双曲线上，满足 $x_0^2=2(1+y_0^2)=2+2y_0^2$。 将 $x_0^2$ 代入不等式中： $(2+2y_0^2)+y_0^2-3<0⟹3y_0^2-1<0$。
4. 解不等式： $y_0^2<\frac{1}{3}⟹-\frac{\sqrt{3}}{3}<y_0<\frac{\sqrt{3}}{3}$。

最终答案为：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：解析几何中涉及“点在曲线上”且求范围的问题，通常先利用几何条件建立等式或不等式，再通过曲线方程进行“代换消元”。
• 几何意义：向量积 $\overrightarrow{M{F}_1}\cdot \overrightarrow{M{F}_2}<0$ 意味着 $\angle F_{1}M{F}_2$ 为钝角。在几何上，这表示点 $M$ 位于以焦距 $F_1{F}_2$ 为直径的圆的内部。
• 避坑指南：计算 $c$ 时注意双曲线是 $c^2=a^2+b^2$，不要与椭圆混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若 $\overrightarrow{M{F}_1}\cdot \overrightarrow{M{F}_2}>0$，则点 $M$ 位于以焦距为直径的圆外部，此时 $\angle F_{1}M{F}_2$ 为锐角；若为 $0$，则点 $M$ 落在该圆上，$\angle F_{1}M{F}_2=90^{\circ }$。
• 方法推广:
  • 极径法：在处理涉及焦点距离的问题时，也可以考虑使用双曲线的焦半径公式 $|MF|=|e{x}_0\pm a|$。
• 相关知识点:
  • 双曲线的离心率：$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
  • 向量数量积的几何定义：$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练(Links)

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• 2024-天津卷-18 解-椭圆综合
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