2015-江苏卷-06 填-向量坐标运算

本题导读

本题考查平面向量的坐标线性运算及向量相等的条件。通过将向量等式转化为二元一次方程组，考查学生基本的运算能力。

📌【题干】

Question

（2015年江苏卷） 已知向量 $\mathbf{a}=(2,1)$，$\mathbf{b}=(1,-2)$，若 $m\mathbf{a}+n\mathbf{b}=(9,-8)$ ($m,n\in \mathbb{R}$)，则 $m-n$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 向量线性运算：利用向量坐标运算的数乘和加法规则，将 $m\mathbf{a}+n\mathbf{b}$ 用包含 $m,n$ 的坐标表示。
2. 利用向量相等：根据向量相等的定义（对应坐标相等），建立关于 $m,n$ 的二元一次方程组。
3. 求解方程组：解出 $m,n$ 的值，最后计算 $m-n$。

✅【答案】

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-3

✍【详细解析】

Abstract

第一步：坐标化表达 已知 $\mathbf{a}=(2,1)$，$\mathbf{b}=(1,-2)$。 则 $m\mathbf{a}+n\mathbf{b}=m(2,1)+n(1,-2)=(2m+n,m-2n)$。

第二步：建立方程组 因为 $m\mathbf{a}+n\mathbf{b}=(9,-8)$，根据坐标相等原则可得： $\{\begin{array}{l}2m+n=9\\ m-2n=-8\end{array}$

第三步：求解方程组 由第一个方程得 $n=9-2m$，代入第二个方程： $m-2(9-2m)=-8$ $m-18+4m=-8$ $5m=10⟹m=2$ 将 $m=2$ 代入 $n=9-2m$ 得： $n=9-4=5$

第四步：计算目标值 $m-n=2-5=-3$

答案：-3

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：向量坐标运算规则：$\lambda (x,y)=(\lambda x,\lambda y)$；$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$。
• 核心方法：方程组法。向量等式在坐标系下天然对应着方程组，这是处理向量线性组合问题的通用手段。
• 避坑指南：解方程组时注意负号运算，确保 $m$ 和 $n$ 的解准确无误。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 不共线，则平面内任意向量均可唯一表示为 $\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b}$（平面向量基本定理）。 *方法推广: 在处理复杂的几何关系时，若能引入坐标系，将几何问题转化为代数方程组，往往能大幅降低思维难度。

• 相关知识点：向量共线条件、向量的数量积、基底的概念。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练(Links)

• 2014-江苏卷-12 填-向量数量积
• 2013年江苏卷-10
• 2019-江苏卷-12 填-向量线性运算