2015-浙江卷文-16 解-解三角形

本题导读

$\tan A=\frac{1}{3}$；第（1）问齐次化简得 $\frac{2}{5}$；第（2）问 $\sin C=\frac{2\sqrt{5}}{5}$、$c=6\sqrt{2}$，面积 $=9$。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(文)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$. 已知 $\tan \left(\frac{\pi }{4}+A\right)=2$.

(1) 求 $\frac{\sin 2A}{\sin 2A+{\cos }^{2}A}$ 的值；

(2) 若 $B=\frac{\pi }{4}$，$a=3$，求 $△ABC$ 的面积.

🔍【思路分析】

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$\tan A=\frac{1}{3}$；第（1）问齐次化简得 $\frac{2}{5}$；第（2）问 $\sin C=\frac{2\sqrt{5}}{5}$、$c=6\sqrt{2}$，面积 $=9$。

✅【答案】

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(1) $\frac{2}{5}$

(2) $9$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $\tan \left(\frac{\pi }{4}+A\right)=\frac{1+\tan A}{1-\tan A}=2$，解得 $\tan A=\frac{1}{3}$。

$\frac{\sin 2A}{\sin 2A+{\cos }^{2}A}=\frac{2\sin A\cos A}{2\sin A\cos A+{\cos }^{2}A}$，分子分母同除以 ${\cos }^{2}A$（$A$ 为三角形内角，$\cos A>0$）：

$=\frac{2\tan A}{2\tan A+1}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{3}}=\frac{2}{5}$。

(2) 由 $\tan A=\frac{1}{3}$ 得 $\sin A=\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\cos A=\frac{3}{\sqrt{10}}$。

$C=\pi -\frac{\pi }{4}-A$，故 $\sin C=\sin \left(\frac{3\pi }{4}-A\right)=\sin \frac{3\pi }{4}\cos A-\cos \frac{3\pi }{4}\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos A+\sin A)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{4}{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

由正弦定理，$c=\frac{a\sin C}{\sin A}=3\cdot \frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}=6\sqrt{2}$。

$S_{△ABC}=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 6\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=9$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两角和的正切公式；同角关系与齐次式化简；正弦定理；三角形面积公式

核心方法：“和角正切解 $\tan A$ → 齐次化简 → 正弦定理 → 面积公式”一条线

避坑指南：①齐次化简时分母除以 ${\cos }^{2}A$ 要交代 $\cos A\ne 0$；②$\sin C$ 用 $\sin (\frac{3\pi }{4}-A)$ 展开，减号别写成加号；③面积用 $\frac{1}{2}ac\sin B$ 最直接，选角时要含已知边。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形大题的标准结构：给一个和角三角等式定角，第（1）问求齐次比值、第（2）问定边算面积（doc 考点定位：同角三角函数基本关系式；正弦定理；三角形面积公式）。

结论推广：一般地，$\tan \left(\frac{\pi }{4}+A\right)=m⟺\tan A=\frac{m-1}{m+1}$；正弦定理换边后 $S=\frac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A}$ 也是可用形式。

方法推广：解三角形主干：一切化成 $\tan A$ 或 $\sin A$、$\cos A$；求边用正弦定理，求面积优先”两边夹角”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 11.01 正弦定理
• 11.04 三角形面积公式

类题演练(Links)

• 2016-浙江卷理-16
• 2015-浙江卷理-16 解-解三角形
• 2013年浙江卷理-16