2015-浙江卷文-20 解-二次函数零点

本题导读

(1) $f(x)={\left(x+\frac{a}{2}\right)}^2+1$ 按对称轴是否落入 $[-1,1]$ 分三段；（2）设零点 $x_0$ 与 $m=b-2a$，$b=m-\frac{2(x_0^2+m)}{x_0+2}$，逐段取端点得 $b\in [-3,9-4\sqrt{5}]$。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(文)） 设函数 $f(x)=x^2+ax+b$（$a$，$b\in \mathbf{R}$）.

(1) 当 $b=\frac{a^2}{4}+1$ 时，求函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的最小值 $g(a)$ 的表达式；

(2) 已知函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上存在零点，$0\le b-2a\le 1$，求 $b$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) $f(x)={\left(x+\frac{a}{2}\right)}^2+1$ 按对称轴是否落入 $[-1,1]$ 分三段；（2）设零点 $x_0$ 与 $m=b-2a$，$b=m-\frac{2(x_0^2+m)}{x_0+2}$，逐段取端点得 $b\in [-3,9-4\sqrt{5}]$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $g(a)=\{\begin{array}{ll}\frac{a^2}{4}+a+2,& a\le -2,\\ 1,& -2<a\le 2,\\ \frac{a^2}{4}-a+2,& a>2.\end{array}$

(2) $b\in [-3,9-4\sqrt{5}]$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 此时 $f(x)=x^2+ax+\frac{a^2}{4}+1={\left(x+\frac{a}{2}\right)}^2+1$，对称轴 $x=-\frac{a}{2}$。

当 $-\frac{a}{2}\in [-1,1]$（即 $-2\le a\le 2$）时，$g(a)=1$；

当 $-\frac{a}{2}>1$（即 $a<-2$）时，$f$ 在 $[-1,1]$ 上递减，$g(a)=f(1)=\frac{a^2}{4}+a+2$；

当 $-\frac{a}{2}<-1$（即 $a>2$）时，$f$ 在 $[-1,1]$ 上递增，$g(a)=f(-1)=\frac{a^2}{4}-a+2$。

(2) 设 $x_0\in [-1,1]$ 是 $f(x)$ 的一个零点，记 $m=b-2a\in [0,1]$，则 $b=2a+m$，且

$x_0^2+a{x}_0+b=0\Rightarrow x_0^2+a(x_0+2)+m=0$。由 $x_0+2>0$，解得 $a=-\frac{x_0^2+m}{x_0+2}$，

于是 $b=m-\frac{2(x_0^2+m)}{x_0+2}$。

对固定的 $x_0$，$b$ 关于 $m$ 是一次函数，斜率 $1-\frac{2}{x_0+2}=\frac{x_0}{x_0+2}$：

当 $x_0\ge 0$ 时 $b$ 随 $m$ 递增：最大值在 $m=1$，$b\le 1-\frac{2(x_0^2+1)}{x_0+2}$；最小值在 $m=0$，$b\ge -\frac{2x_0^2}{x_0+2}\ge -\frac{2}{3}$。

当 $x_0<0$ 时 $b$ 随 $m$ 递减：最小值在 $m=1$，$b\ge 1-\frac{2(x_0^2+1)}{x_0+2}$；最大值在 $m=0$，$b\le -\frac{2x_0^2}{x_0+2}\le 0$。

记 $h(x)=1-\frac{2(x^2+1)}{x+2}$（$-1\le x\le 1$）。$h^{\prime }(x)=-\frac{2(x^2+4x-1)}{(x+2{)}^2}$，$h$ 在 $x=\sqrt{5}-2$ 处取最大值

$h(\sqrt{5}-2)=1-\frac{2(10-4\sqrt{5})}{\sqrt{5}}=9-4\sqrt{5}$；端点 $h(-1)=-3$，$h(1)=-\frac{1}{3}$。又 $-\frac{2x^2}{x+2}$ 在 $[-1,1]$ 上的取值范围为 $[-2,0]$。

综上：$b$ 的最大值为 $9-4\sqrt{5}$（$x_0=\sqrt{5}-2$，$m=1$，此时 $a=4-2\sqrt{5}$，$b-2a=1$）；$b$ 的最小值为 $-3$（$x_0=-1$，$m=1$，此时 $a=-2$，$b=-3$，$f(x)=x^2-2x-3$ 在 $x_0=-1$ 处有零点）。

故 $b$ 的取值范围是 $[-3,9-4\sqrt{5}]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次函数在定区间上的最值（动轴定区间）；零点的存在性；双参数消元

核心方法：“配方定轴分段 + 零点参数化 + 对固定 $x_0$ 按 $m$ 单调取端点”

避坑指南：①$g(a)$ 的分段点 $a=\pm 2$ 处两种表达式值相同，分段区间怎么归属都行，但三段必须写全；②第（2）问 $b$ 对 $m$ 的单调方向取决于 $x_0$ 的符号，$x_0\ge 0$ 与 $x_0<0$ 两段要分别取端点，统一取 $m=0$ 或 $m=1$ 会漏掉最值；③最值点要代回检验约束（$0\le b-2a\le 1$、零点确实在 $[-1,1]$ 内）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二次函数动轴最值 + 双参数零点范围，是浙江卷压轴的”函数观念”考题（doc 考点定位：函数的单调性与最值；分段函数；分类讨论思想），参数化的手法把存在性问题转化为最值问题。

结论推广：一般地，”$f$ 在 $I$ 上有零点 + $\phi (a,b)\in J$“型问题可参数化：设零点 $x_0$ 解出 $b=b(x_0,m)$，再按单变量单调性逐层取端点；本题 $h(x)$ 的最大值点 $x=\sqrt{5}-2$ 由二次方程 $x^2+4x-1=0$ 给出。

方法推广：多参数最值问题：选一个”主变量”（零点位置）把其余参数表示出来，化为显函数后按单调性逐层取端点；每个端点都要验证可达性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 05.02 函数的四大性质

类题演练(Links)

• 2016-浙江卷理-18
• 2015-浙江卷理-18 解-二次函数最值
• 2011-浙江卷理-22