2015-浙江卷理-20 解-数列递推

本题导读

本题是数列与不等式的综合压轴题。第一问通过递推式变形证明比值范围；第二问利用累加法求出平方项之和，并运用数学归纳法对递推项进行精确放缩，从而证明平均值不等式。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(理)） （2015•浙江）已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\frac{1}{2}$ 且 $a_{n+1}=a_n-a_n^2$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$).

(1) 证明：$1\le \frac{a_n}{a_{n+1}}\le 2$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$)；

(2) 设数列 $\{a_n^2\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，证明：$\frac{1}{2(n+2)}⩽\frac{S_n}{n}⩽\frac{1}{2(n+1)}$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$).

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问思路：
   • 单调性分析：由 $a_{n+1}=a_n(1-a_n)$ 可证 $0<a_n\le \frac{1}{2}$。由于 $a_n^2>0$，故 $a_{n+1}<a_n$，即数列单调递减。
   • 比值变形：$\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{a_n}{a_n-a_n^2}=\frac{1}{1-a_n}$。利用 $a_n$ 的取值范围直接得出比值的范围。
2. 第二问思路：
   • 累加求和：观察递推式 $a_n^2=a_n-a_{n+1}$，利用累加法可得 $S_n=\sum a_i^2=a_1-a_{n+1}=\frac{1}{2}-a_{n+1}$。
   • 目标转化：要证 $\frac{S_n}{n}$ 的范围，即证 $\frac{1}{2(n+2)}⩽\frac{\frac{1}{2}-a_{n+1}}{n}⩽\frac{1}{2(n+1)}$，等价于对 $a_{n+1}$ 作双侧估计 $\frac{1}{2(n+1)}⩽a_{n+1}<\frac{1}{n+2}$。
   • 取倒数放缩：$\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=\frac{1}{1-a_n}\in (1,2]$，把”二次递推”换成”倒数的等差型”，累加即得倒数的上下界。

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(1) 证明见解析；(2) 证明见解析（右端等号仅在 $n=1$ 时取到）

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：比值范围 由 $a_1=\frac{1}{2}$ 及 $a_{n+1}=a_n-a_n^2$，易知 $0<a_n\le \frac{1}{2}$ 对所有 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 成立。 则 $\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{a_n}{a_n(1-a_n)}=\frac{1}{1-a_n}$。 因为 $0<a_n\le \frac{1}{2}$，所以 $\frac{1}{2}\le 1-a_n<1$。 由此得 $1<\frac{1}{1-a_n}\le 2$。 故 $1\le \frac{a_n}{a_{n+1}}\le 2$ 得证。

(2) 证明：前 $n$ 项平均值范围 由 $a_n^2=a_n-a_{n+1}$ 累加得 $S_n=(a_1-a_2)+(a_2-a_3)+\cdots +(a_n-a_{n+1})=a_1-a_{n+1}=\frac{1}{2}-a_{n+1}$， 故 $\frac{S_n}{n}=\frac{1}{2n}-\frac{a_{n+1}}{n}$。问题化为对 $a_{n+1}$ 作双侧估计。 由 (1) 知 $0<a_n⩽\frac{1}{2}$，于是 $\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_n(1-a_n)}-\frac{1}{a_n}=\frac{a_n}{a_n(1-a_n)}=\frac{1}{1-a_n}.$ 由 $\frac{1}{2}⩽1-a_n<1$ 得 $1<\frac{1}{1-a_n}⩽2$，即 $1<\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}⩽2$。 令 $k=1,2,\dots ,n$ 累加，并注意 $\frac{1}{a_1}=2$： $n+2<\frac{1}{a_{n+1}}⩽2n+2⟹\frac{1}{2(n+1)}⩽a_{n+1}<\frac{1}{n+2}.$ 代回 $\frac{S_n}{n}=\frac{1}{2n}-\frac{a_{n+1}}{n}$： 由 $a_{n+1}⩾\frac{1}{2(n+1)}$ 得 $\frac{S_n}{n}⩽\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n(n+1)}=\frac{1}{2(n+1)}$； 由 $a_{n+1}<\frac{1}{n+2}$ 得 $\frac{S_n}{n}>\frac{1}{2n}-\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2(n+2)}$。 故 $\frac{1}{2(n+2)}⩽\frac{S_n}{n}⩽\frac{1}{2(n+1)}$，命题得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：递推数列与差分关系（$a_n^2=a_n-a_{n+1}$）；取倒数后作差累加的放缩。
• 核心方法：取倒数放缩。形如 $a_{n+1}=a_n-a_n^2$（或 $a_{n+1}=a_n+a_n^2$）的递推，$\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}$ 恰为只含 $a_n$ 的分式，倒数的变化率被 $a_n$ 的取值范围卡住，于是夹逼。
• 避坑指南：第二问求和时，务必发现 $a_n^2$ 正好是原数列相邻项的差，这是裂项累加的信号。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 对于 $a_{n+1}=a_n-a_n^2$ 类型数列（Logistic 映射的特殊情况），其大 $n$ 渐近行为满足 $a_n\sim \frac{1}{n}$。 *方法推广: 证明 $\frac{S_n}{n}$ 范围，本质是研究数列的算术平均值，若通项具有某种单调或放缩特征，优先考虑对通项进行界定。

• 相关知识点：定积分估值数列和、不动点法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型
• 20.13 对数平均与指数平均不等式专题

类题演练(Links)

• 2016-浙江卷理-20
• 2021-浙江卷-20 解-数列综合
• 2020-浙江卷-20 解-数列不等式