2015-湖北卷文-07 单-符号函数

本题导读

逐项验证四个恒等式：对 $x<0$ 代入 $x=-1$，只有 $|x|=x\mathrm{sgn}x$ 给出 $1=(-1)(-1)$ 正确。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(文)） 已知符号函数 $\mathrm{sgn}x=\{\begin{array}{ll}1,& x>0,\\ 0,& x=0,\\ -1,& x<0,\end{array}$ 则 ()

A. $|x|=x|\mathrm{sgn}x|$　　　　　　　　　　　　　　B. $|x|=x\mathrm{sgn}|x|$

C. $|x|=|x|\mathrm{sgn}x$　　　　　　　　　　　　　　D. $|x|=x\mathrm{sgn}x$

🔍【思路分析】

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逐项验证四个恒等式：对 $x<0$ 代入 $x=-1$，只有 $|x|=x\mathrm{sgn}x$ 给出 $1=(-1)(-1)$ 正确。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

逐一验证：

(A) $x=-1$ 时右边 $=(-1)\times |-1|=-1\ne 1$，错；

(B) $x=-1$ 时右边 $=(-1)\times \mathrm{sgn}(1)=-1\ne 1$，错；

(C) $x=-1$ 时右边 $=|-1|\times (-1)=-1\ne 1$，错；

(D) $x>0$ 时 $x\mathrm{sgn}x=x\cdot x=x=|x|$；$x<0$ 时 $=x\cdot (-1)=-x=|x|$；$x=0$ 时 $=0=|x|$。恒成立，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：符号函数（分段函数）与绝对值的恒等关系

核心方法：分类讨论验证恒等式；特殊值 $x=\pm 1$ 快速排除

避坑指南：四个选项形式相近，关键是抓住 $x<0$ 时绝对值”变号”的方向：$|x|=-x$，只有 D 的右侧 $x\cdot \mathrm{sgn}x$ 给出 $-x$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：符号函数是教材函数表示（分段函数）的拓展素材，湖北卷用它考查分类讨论基本功。

结论推广：$\mathrm{sgn}x$ 可表示最大值：$\max \{a,b\}=\frac{a+b+|a-b|}{2}$；$|x|=x\mathrm{sgn}x$ 即”绝对值 = 数乘其符号”。

方法推广：验证含绝对值/符号函数的恒等式，取 $x>0$、$x<0$、$x=0$ 三类各代一值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 05.02 函数的四大性质

类题演练(Links)

• 2015-湖北卷理-9
• 2015-湖北卷理-6
• 2014-湖北卷理-14 填-新定义型问题