2015-湖北卷理-19 解-线面垂直

本题导读

本题借用《九章算术》中的“阳马”与“鳖臑”概念，考查立体几何中线面垂直的证明以及二面角的计算。通过建立空间直角坐标系，利用向量数量积和法向量夹角公式，可将复杂的空间位置关系代数化求解。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(理)） 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 如图，在阳马 $P-ABCD$ 中，侧棱 $PD\perp$ 平面 $ABCD$，且 $PD=CD$.过棱 $PC$ 的中点 $E$ 作 $EF\perp PB$ 交 $PB$ 于点 $F$，连接 $DE,DF,BD,BE$.

(1) 证明：$PB\perp$ 平面 $DEF$.试判断四面体 $DBEF$ 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；

(2) 若面 $DEF$ 与面 $ABCD$ 所成二面角的大小为 $\frac{\pi }{3}$，求 $\frac{DC}{BC}$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（证明与判断）：
   • 线面垂直：建立空间直角坐标系，利用向量 $\overrightarrow{PB}$ 与平面内两条不平行向量（如 $\overrightarrow{DE},\overrightarrow{EF}$）的数量积为 0 来证明。
   • 鳖臑判定：根据定义，检查四面体 $DBEF$ 的四个面（$△DEF,△BEF,△BDF,△DEB$）是否均为直角三角形。
2. 第二问（计算二面角）：
   • 确定法向量：平面 $ABCD$ 的一个法向量即为 $\overrightarrow{DP}$；由第一问结论可知，平面 $DEF$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{PB}$。
   • 建立等式：利用向量夹角余弦公式 $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}$，将 $DC/BC$ 设为变量代入求解。

✅【答案】

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因为 $\lambda =\frac{BC}{DC}$（在设 $DC=1$ 时）， 所以 $\frac{BC}{DC}=\sqrt{2}$，即 $\frac{DC}{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）证明与判断


以 $D$ 为原点，射线 $DA,DC,DP$ 分别为 $x,y,z$ 轴的正半轴，建立空间直角坐标系。 设 $PD=DC=1$，$BC=AD=\lambda$，则相关点坐标为： $D(0,0,0),P(0,0,1),C(0,1,0),B(\lambda ,1,0),A(\lambda ,0,0)$。 由于 $E$ 是 $PC$ 的中点，则 $E(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2})$。 则 $\overrightarrow{PB}=(\lambda ,1,-1)$，$\overrightarrow{DE}=(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2})$。 $\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{DE}=\lambda \cdot 0+1\cdot \frac{1}{2}+(-1)\cdot \frac{1}{2}=0⟹PB\perp DE$。 又已知 $EF\perp PB$，且 $DE\cap EF=E$， 根据线面垂直判定定理，$PB\perp$ 平面 $DEF$。

判断：四面体 $DBEF$ 是鳖臑。 其四个面的直角分别为：$\angle DEB=90^{\circ },\angle DEF=90^{\circ },\angle EFB=90^{\circ },\angle DFB=90^{\circ }$。 (注：由 $PB\perp$ 平面 $DEF$ 可知 $PB$ 垂直于面内所有直线，故 $\angle DFB,\angle EFB,\angle BDE$ 等相关角均为直角)

（Ⅱ）求 $\frac{DC}{BC}$ 的值 由 $PD\perp$ 平面 $ABCD$，取平面 $ABCD$ 的法向量 ${\vec{n}}_1=\overrightarrow{DP}=(0,0,1)$。 由（Ⅰ）知 $PB\perp$ 平面 $DEF$，取平面 $DEF$ 的法向量 ${\vec{n}}_2=\overrightarrow{PB}=(\lambda ,1,-1)$。 设二面角为 $\alpha =\frac{\pi }{3}$，则： $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1|\cdot |{\vec{n}}_2|}=\frac{|0+0-1|}{1\cdot \sqrt{{\lambda }^2+1^2+(-1{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{{\lambda }^2+2}}$ 即 $\frac{1}{2}=\frac{1}{\sqrt{{\lambda }^2+2}}⟹\sqrt{{\lambda }^2+2}=2⟹{\lambda }^2+2=4⟹\lambda =\sqrt{2}$。 因为 $\lambda =\frac{BC}{DC}$（在设 $DC=1$ 时）， 所以 $\frac{BC}{DC}=\sqrt{2}$，即 $\frac{DC}{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：空间向量的坐标运算，线面垂直的判定，二面角的法向量求法。
• 概念辨析：题目中引入“阳马”与“鳖臑”，不仅增加了文化氛围，更隐含了垂直关系的背景（如阳马侧棱垂直底面）。
• 避坑指南：在求法向量夹角时，要注意向量的方向，判断结果是该夹角还是其补角，但在求二面角余弦值的绝对值时，由于 $\cos (\pi /3)$ 为正，通常直接计算即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 在阳马 $P-ABCD$ 中，若 $PD=CD=BC$，则二面角的余弦值为 $1/\sqrt{3}$。
• 方法推广:
  • 几何法求二面角：若不建系，可寻找面与面的交线 $DG$，利用三垂线定理寻找二面角的平面角 $\angle BDF$。
• 相关知识点: 、空间向量数量积、三垂线定理。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质
• 21.04 空间向量求距离

类题演练(Links)

• 2013年湖北卷理-19
• 2014-湖北卷理-19 解-线面平行
• 2012-湖北卷理-19