2015-湖南卷文-03 单-充要条件

本题导读

$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ 且 $x^2+x+1>0$，故 $x^3>1⟺x>1$，充要条件。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(文)） 设 $x\in \mathbf{R}$，则"$x>1$"是"$x^3>1$"的 ()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ 且 $x^2+x+1>0$，故 $x^3>1⟺x>1$，充要条件。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$，而 $x^2+x+1={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$ 恒成立。

故 $x^3>1⟺x-1>0⟺x>1$，两条件互相等价，"$x>1$"是"$x^3>1$"的充要条件，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充分条件与必要条件；三次不等式的同解变形

核心方法：因式分解 + 判定二次因式恒正，得等价关系

避坑指南：幂函数 $y=x^3$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，所以不等号方向不变——能看出这一点即可秒判充要。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：”$x$ 与 $x^3$ 大小同序”是单调性的直接应用，逻辑用语与函数单调性的嫁接题。

结论推广：对奇次幂：$x^{2k+1}>a^{2k+1}⟺x>a$（$y=t^{2k+1}$ 递增）；对偶次幂则须按 $|x|$ 讨论。

方法推广：判充要条件的本质是判两个不等式是否同解；单调函数保序即同解。

🔗【关联脉络】

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