2015-湖南卷文-07 单-基本不等式

本题导读

两边同乘 $ab$ 得 $b+2a=(ab{)}^{3/2}$，再用 $b+2a\ge 2\sqrt{2ab}=2\sqrt{2t}$ 得 $t^{3/2}\ge 2\sqrt{2}t$，解出 $t\ge 2\sqrt{2}$。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(文)） 若实数 $a$，$b$ 满足 $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\sqrt{ab}$，则 $ab$ 的最小值为 ()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $2\sqrt{2}$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

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两边同乘 $ab$ 得 $b+2a=(ab{)}^{3/2}$，再用 $b+2a\ge 2\sqrt{2ab}=2\sqrt{2t}$ 得 $t^{3/2}\ge 2\sqrt{2}t$，解出 $t\ge 2\sqrt{2}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由根式有意义且分母不为零，知 $ab>0$。若 $a,b<0$，则左端 $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}<0$ 而右端 $\sqrt{ab}>0$，矛盾，故 $a,b>0$。

令 $t=ab$。原等式两边同乘 $ab$：$b+2a=(ab{)}^{3/2}=t^{3/2}$。

由基本不等式 $b+2a\ge 2\sqrt{2ab}=2\sqrt{2t}$，得 $t^{3/2}\ge 2\sqrt{2}t$。因 $t>0$，两边除以 $\sqrt{t}$ 得 $t\ge 2\sqrt{2}$。

当 $b=2a$ 且 $ab=2\sqrt{2}$ 时等号成立，故 $ab$ 的最小值为 $2\sqrt{2}$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基本不等式；条件等式中的最值

核心方法：“乘 $ab$ 化齐次”把条件变成 $b+2a=t^{3/2}$，再用均值不等式

避坑指南：①必须先论证 $a,b>0$（$a,b$ 同负时不等式矛盾），否则均值不等式不能用；②等号条件 $b=2a$ 要代回原式验证成立。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“倒数和 = 根号积”的约束结构是基本不等式的进阶形态（doc 考点定位：基本不等式），齐次化是关键一步。

结论推广：推广：$\frac{m}{a}+\frac{n}{b}=\sqrt{ab}$ 型条件可用同法得 $(ab{)}^{3/2}\ge 2\sqrt{mn\cdot ab}$，$ab\ge (2\sqrt{mn}{)}^{2/3}$；本题 $m=1,n=2$ 时 $(2\sqrt{2}{)}^{3/2}\cdot t^{...}$ 化简即 $t\ge 2\sqrt{2}$。

方法推广：分式条件等式求最值：先”去分母”看能否齐次化，再用均值不等式建立关于目标元的直接不等式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练(Links)

• 2015-湖南卷理-17 解-正弦定理
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