2015-湖南卷文-09 单-向量和最值

本题导读

$\angle ABC=90^{\circ }$ 说明 $AC$ 是直径，$\vec{a}+\vec{c}=\vec{0}$；于是 $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\vec{b}-(6,0)$，模 $\le 1+6=7$。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(文)） 已知点 $A$，$B$，$C$ 在圆 $x^2+y^2=1$ 上运动，且 $AB\perp BC$.若点 $P$ 的坐标为 $(2,0)$，则 $\left|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\right|$ 的最大值为 ()

A. $6$　　　　　　　B. $7$　　　　　　　C. $8$　　　　　　　D. $9$

🔍【思路分析】

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$\angle ABC=90^{\circ }$ 说明 $AC$ 是直径，$\vec{a}+\vec{c}=\vec{0}$；于是 $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\vec{b}-(6,0)$，模 $\le 1+6=7$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设圆心为原点 $O$，记 $\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$，$\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$，$\overrightarrow{OC}=\mathbf{c}$，则 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|=1$。

由 $AB\perp BC$ 知 $\angle ABC=90^{\circ }$，由圆周角定理，$AC$ 是圆的直径，所以 $\mathbf{a}+\mathbf{c}=0$。

又 $\overrightarrow{OP}=(2,0)$，故

$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=(\mathbf{a}-\overrightarrow{OP})+(\mathbf{b}-\overrightarrow{OP})+(\mathbf{c}-\overrightarrow{OP})=\mathbf{b}-3\overrightarrow{OP}=\mathbf{b}-(6,0)$。

由三角不等式 $\left|\mathbf{b}-(6,0)\right|\le |\mathbf{b}|+|(6,0)|=1+6=7$。

当 $\mathbf{b}=(-1,0)$ 时取等号（此时取 $A=(0,1)$、$C=(0,-1)$，仍有 $AB\perp BC$）。故最大值为 $7$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的性质（直径所对的圆周角）；向量的和与模；三角不等式

核心方法：“直角对直径”消去 $\vec{a}+\vec{c}$，化归为单向量与定向量的模

避坑指南：①$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$ 化简时 $\overrightarrow{OP}$ 要乘 3；②取等条件需要 $B=(-1,0)$ 且 $A,C$ 恰为 $(0,\pm 1)$，不是任意放置都能取到。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆上三点 + 直角条件 + 向量和的最值，是”圆与向量”综合题的精品构型（doc 考点定位：直线与圆、平面向量运算性质）。

结论推广：一般地，$\left|\sum \overrightarrow{P{X}_i}\right|=\left|\sum \overrightarrow{O{X}_i}-n\overrightarrow{OP}\right|$；“三角不等式取等”须两向量共线同向反向，验证取等点是完整解答的一部分。

方法推广：多点向量和问题先把公共起点移到原点化简，再找几何条件（直径/中点/重心）消元。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练(Links)

• 2013年湖南卷理-9
• 2015-湖南卷理-8
• 2014-湖南卷理-11 填-参数方程互化