2015-湖南卷理-03 单-程序框图

本题导读

本题考查程序框图的逻辑执行过程，重点在于识别循环结构计算的数学本质——数列的前 $n$ 项和，并利用裂项相消法快速求解。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(理)） 执行如图所示的程序框图，如果输入 $n=3$，则输出的 $S=$ ()

A. $\frac{6}{7}$　　　　　　　B. $\frac{3}{7}$　　　　　　　C. $\frac{8}{9}$　　　　　　　D. $\frac{4}{9}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别循环逻辑：该框图是一个当型循环结构。初始值 $i=1,S=0$。每次循环执行 $S=S+\frac{1}{(2i-1)(2i+1)}$，然后 $i$ 自增 $1$。
2. 确定终止条件：当 $i>n$ 时循环终止。对于 $n=3$，循环将分别在 $i=1,2,3$ 时执行，当 $i=4$ 时跳出。
3. 数学本质转换：输出的 $S$ 实际上是数列 $\{a_i\}$ 的前 $3$ 项和，其中 $a_i=\frac{1}{(2i-1)(2i+1)}$。
4. 计算求解：利用裂项相消法 $a_i=\frac{1}{2}(\frac{1}{2i-1}-\frac{1}{2i+1})$ 进行求和。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：程序模拟执行

• 输入 $n=3$，初始 $i=1,S=0$。

• 第一次循环：$S=0+\frac{1}{1\times 3}=\frac{1}{3}$，$i=1+1=2$。此时 $2>3$ 不成立，继续循环。

• 第二次循环：$S=\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 5}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$，$i=2+1=3$。此时 $3>3$ 不成立，继续循环。

• 第三次循环：$S=\frac{2}{5}+\frac{1}{5\times 7}=\frac{15}{35}=\frac{3}{7}$，$i=3+1=4$。此时 $4>3$ 成立，输出 $S$。

第二步：裂项相消法验证 输出的 $S$ 为： $S={\sum }_{i=1}^3\frac{1}{(2i-1)(2i+1)}$ 利用公式 $\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k})$，此处 $k=2$： $S=\frac{1}{2}\left[\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)\right]$ $S=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{7}\right)=\frac{1}{2}\times \frac{6}{7}=\frac{3}{7}$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：程序框图的循环结构判断；裂项相消法求和公式。
• 避坑指南：
  1. 判断框条件：注意是“$i>n$”还是“$i\ge n$”，这决定了最后一次循环是否执行。
  2. 裂项系数：分母中两个因式的差为 $2$，裂项后前面必须乘 $\frac{1}{2}$。
• 小题大做时可采用逐次模拟，但当 $n$ 较大时，必须识别其数列求和的本质。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 数列 $a_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=\frac{n}{2n+1}$。
• 方法推广:
  • 裂项法：常用于分母为等差数列两项乘积的求和。
  • 流程图分析：重点关注循环变量的起始值、步长及终值。
• 相关知识点: 算法语言、等差数列、数列的极限。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型
• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则

类题演练(Links)

• 2013年湖南卷理-13
• 2012-湖南卷理-14
• 2014-湖南卷理-06 单-程序框图