本题导读
本题考查简单线性规划问题。通过绘制二元一次不等式组表示的可行域，利用目标函数的几何意义（截距），寻找最优解所在的顶点。
📌【题干】
Question
（2015年湖南卷(理)） 若变量 满足约束条件 ，则 的最小值为 ()
A. -7 B. -1 C. 1 D. 2
🔍【思路分析】
破题导航
- 画出可行域：在坐标系中画出三条直线 ，并根据不等号方向确定围成的阴影区域（三角形区域）。
- 确定目标函数意义：将 变形为 。这是一个斜率为 3 的直线簇， 代表直线在 轴上的截距。
- 寻找最优解：要使 最小，需使截距 最大。通过平移直线 ，观察当直线经过可行域哪个顶点时，截距取得最大值。
- 计算验证：求出该顶点坐标，代入 表达式计算。
✅【答案】
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A
✍【详细解析】
Abstract
第一步：绘制可行域 由约束条件 确定的平面区域如下图所示： 通过解方程组可得可行域的三个顶点坐标：
- 联立 与 得 ；
- 联立 与 得 ；
- 联立 与 得 。
第二步：平移目标函数 作直线 。 目标函数 转化为 。 平移直线 ，当直线经过点 时，直线在 轴上的截距 达到最大，此时 取得最小值。
第三步：计算最小值 将 代入 ：
故选：A。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：线性规划中可行域的绘制和目标函数的几何意义转化。
- 核心方法：
- 图解法：适用于所有线性规划问题，直观且不易出错。
- 顶点代入法：在线性规划中，最值通常在可行域的顶点处取得。若时间紧迫，可直接计算所有顶点坐标并代入比较。
- 避坑指南：注意目标函数中 的系数。若为负数（如本题 ），则 的最小对应截距的最大。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 结论推广: 若目标函数为 ，当 时， 的变化趋势与 轴截距一致；当 时，两者相反。
- 方法推广: 对于非线性目标函数（如距离型 或斜率型 ），同样可以利用几何意义解决。
- 相关知识点: 二元一次不等式表示的区域判定（直线定界、测试点定域）。
🔗【关联脉络】
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