2015-湖南卷理-08 单-向量的模

本题导读

本题考查平面向量模的最值问题，关键在于利用圆的直径性质（直角对直径）简化多个动点向量的和，并将其转化为圆上动点到定点的距离问题。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(理)） 已知点 $A,B,C$ 在圆 $x^2+y^2=1$ 上运动，且 $AB\perp BC$，若点 $P$ 的坐标为 $(2,0)$，则 $|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}|$ 的最大值为 ()

A. 6　　　　　　　B. 7　　　　　　　C. 8　　　　　　　D. 9

🔍【思路分析】

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1. 挖掘隐含几何条件：由 $A,B,C$ 在圆上且 $AB\perp BC$ 可知，$\angle ABC=90^{\circ }$。根据圆的几何性质，线段 $AC$ 必为圆的直径。
2. 向量中点转化：设圆心为 $O(0,0)$。由于 $AC$ 是直径，$O$ 是 $AC$ 的中点，根据向量加法性质，有 $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{PO}$。
3. 简化目标表达式：待求式变为 $|2\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{PB}|$。其中 $2\overrightarrow{PO}$ 是定向量，$\overrightarrow{PB}$ 是动向量。
4. 几何意义求解：将表达式看作从定点出发指向圆上动点 $B$ 的向量模长，利用圆外一点到圆上点距离的最值规律（$d+r$）求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：几何推导 因为点 $A,B,C$ 都在单位圆 $O:x^2+y^2=1$ 上，且 $AB\perp BC$， 所以 $\angle ABC=90^{\circ }$，由直径所对的圆周角是直角可知，$AC$ 是圆 $O$ 的一条直径。 因此，圆心 $O(0,0)$ 是线段 $AC$ 的中点，即 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$。

第二步：向量模化简 利用向量加法的三角形法则，引入原点 $O$： $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OA})+(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OB})+(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OC})$ $=3\overrightarrow{PO}+(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})+\overrightarrow{OB}$ 由于 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$， 原式简化为：$|3\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OB}|$。

第三步：坐标代入 已知 $P(2,0),O(0,0)$，则 $\overrightarrow{PO}=(0-2,0-0)=(-2,0)$。 所以 $3\overrightarrow{PO}=(-6,0)$。 设 $B(x,y)$，则有： $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=(-6+x,y)$ $|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}|=\sqrt{(x-6{)}^2+y^2}$

第四步：求最大值 表达式 $\sqrt{(x-6{)}^2+y^2}$ 的几何意义是单位圆上的动点 $B(x,y)$ 到定点 $Q(6,0)$ 的距离。 点 $Q(6,0)$ 到圆心 $O(0,0)$ 的距离 $d=6$。 单位圆半径 $r=1$。 距离的最大值为 $d+r=6+1=7$。 此时点 $B$ 坐标为 $(-1,0)$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：圆的性质（直径所对圆周角为 $90^{\circ }$）；向量中点公式的灵活应用。
• 在解析几何与向量综合题中，“回归中心”（将起点转换到圆心、球心或对称中心）是处理多个动点向量和的最快路径。
• 避坑指南：不要盲目设三个点的坐标进行暴力运算，那会产生 6 个变量且难以消元。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若 $G$ 为 $△ABC$ 的重心，则 $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=3\overrightarrow{PG}$。本题实质是求点 $P$ 到重心 $G$ 轨迹上点的最大距离的 3 倍。
• 方法推广: 处理圆锥曲线上的向量最值，坐标法配合辅助角公式（三角换元）也是一种通用手段。
• 相关知识点: 向量加法的平行四边形法则、点到圆的最值距离、重心坐标公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练(Links)

• 2013年湖南卷理-8
• 2013年湖南卷理-6
• 2011-湖南卷理-14