2015-湖南卷理-19 解-线面位置关系

本题导读

本题是立体几何综合题，考查空间线线垂直的证明、二面角条件下的点位确定以及四面体体积的计算。推荐使用空间向量法，逻辑清晰且运算程序化。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(理)） 如图，已知四棱台 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 上、下底面分别是边长为 $3$ 和 $6$ 的正方形，$A{A}_1=6$，且 $A{A}_1\perp$ 底面 $ABCD$，点 $P,Q$ 分别在棱 $D{D}_1,BC$ 上.

(1) 若 $P$ 是 $D{D}_1$ 的中点，证明：$A{B}_1\perp PQ$；

(2) 若 $PQ\parallel$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$，二面角 $P-QD-A$ 的余弦值为 $\frac{3}{7}$，求四面体 $ADPQ$ 的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立坐标系：由于 $A{A}_1\perp$ 底面 $ABCD$，且底面为正方形，以 $A$ 为原点， $AB,AD,A{A}_1$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。
2. 第一问（垂直证明）：
   • 写出 $A,B_1,D,D_1$ 的坐标，根据中点公式求出 $P$。
   • 设 $Q$ 的坐标为 $(6,m,0)$，通过向量数量积 $\overrightarrow{A{B}_1}\cdot \overrightarrow{PQ}=0$ 证明垂直。
3. 第二问（体积求解）：
   • 参数化表达：利用 $PQ\parallel$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$ 的性质确定 $Q$ 点坐标中与 $P$ 点相关的参数关系。
   • 法向量求解：分别求出平面 $PQD$ 和平面 $AQD$（底面）的法向量。
   • 方程求解：利用二面角余弦值公式列方程，求出 $P$ 点的高度。
   • 体积计算：将四面体 $ADPQ$ 视为以 $△ADQ$ 为底的三棱锥 $P-ADQ$，利用 $V=\frac{1}{3}Sh$ 求解。

✅【答案】

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四面体 $ADPQ$ 视为以 $△ADQ$ 为底的三棱锥 $P-ADQ$： $S_{△ADQ}=\frac{1}{2}\times 6\times 6=18$ $V_{ADPQ}=\frac{1}{3}{S}_{△ADQ}\cdot h=\frac{1}{3}\times 18\times 4=24$

✍【详细解析】

Abstract

以 $A$ 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 $A-xyz$。 则 $A(0,0,0),B(6,0,0),D(0,6,0),A_1(0,0,6),B_1(3,0,6),D_1(0,3,6)$。 设 $Q(6,m,0)$，其中 $0\le m\le 6$。

（1）证明： 若 $P$ 是 $D{D}_1$ 的中点，则 $P(0,4.5,3)$。 $\overrightarrow{A{B}_1}=(3,0,6)$，$\overrightarrow{PQ}=(6,m-4.5,-3)$。 $\overrightarrow{A{B}_1}\cdot \overrightarrow{PQ}=3\times 6+0\times (m-4.5)+6\times (-3)=18+0-18=0$ 故 $A{B}_1\perp PQ$。

（2）计算： 设 $\overrightarrow{DP}=\lambda \overrightarrow{D{D}_1}(0<\lambda \le 1)$，则 $P(0,6-3\lambda ,6\lambda )$。 因为 $PQ\parallel$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$，该平面的一个法向量为 $\vec{n}=(0,1,0)$。

则 $\overrightarrow{PQ}\cdot \vec{n}=0⟹(6-0,m-(6-3\lambda ),0-6\lambda )\cdot (0,1,0)=0⟹m=6-3\lambda$。 平面 $AQD$（底面）的法向量为 $\overrightarrow{n_1}=(0,0,1)$。

设平面 $PQD$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_2}=(x,y,z)$，联立方程： $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{DP}=0\\ \overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{DQ}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}-3\lambda y+6\lambda z=0\\ 6x+(m-6)y=0\end{array}⟹\overrightarrow{n_2}=(6-m,6,3)$ 由二面角余弦值 $\cos ⟨\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}⟩=\frac{3}{\sqrt{(6-m{)}^2+6^2+3^2}}=\frac{3}{7}$。 解得 $m=4$ 或 $m=8$（舍），此时 $\lambda =\frac{2}{3}$，点 $P$ 的高度 $h=6\lambda =4$。

四面体 $ADPQ$ 视为以 $△ADQ$ 为底的三棱锥 $P-ADQ$： $S_{△ADQ}=\frac{1}{2}\times 6\times 6=18$ $V_{ADPQ}=\frac{1}{3}{S}_{△ADQ}\cdot h=\frac{1}{3}\times 18\times 4=24$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：空间直角坐标系的建立、线面平行的向量表达、二面角的向量夹角公式。
• 避坑指南：求法向量时要注意计算准确性；第二问中要先转化 $PQ\parallel$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$ 这一条件来锁定 $Q$ 点的位置参数。
• 对于这类规则几何体中截取的四面体，等积法（变换顶点和底面）是简化体积计算的核心技巧。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法推广: 传统几何法。过 $P$ 作 $PM\parallel A{A}_1$ 交 $AD$ 于 $M$，构造二面角的平面角，利用几何比例求解（如解析图 $d$ 所示）。
• 结论推广: 在棱台模型中，体积计算往往涉及相似三角形的比例关系，掌握比例缩放有助于快速校验。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质
• 21.02 空间向量与线面位置关系判定

类题演练(Links)

• 2014-湖南卷理-19 解-直线与平面垂直判定
• 2013年湖南卷理-19
• 2011-湖南卷理-19