2015-福建卷文-12 单-充要条件

本题导读

先把条件 $p$ 等价转化为 $k⩽1$，再比较两个集合的包含关系定”充分/必要”，是逻辑题的标准打法。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(文)） “对任意 $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，$k\sin x\cos x<x$”是“$k<1$”的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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1. 由 $\sin x<x<\tan x$（$0<x<\frac{\pi }{2}$）得 $\sin x\cos x<x$，且 $\frac{x}{\sin x\cos x}\to 1$（$x\to 0^{+}$）。
2. 条件 $p$ 等价于 $k⩽1$；比较 $\{k⩽1\}$ 与 $\{k<1\}$ 的包含关系。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 时 $\sin x<x$ 且 $0<\cos x<1$，得 $\sin x\cos x<\sin x<x$，即 $\frac{x}{\sin x\cos x}>1$；又 $\frac{x}{\sin x\cos x}\to 1$（当 $x\to 0^{+}$）.

于是对任意 $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，$k\sin x\cos x<x$

$⟺k<\frac{x}{\sin x\cos x}\text{恒成立}⟺k⩽1.$

记条件 $p$：$k⩽1$，结论 $q$：$k<1$，则 $q⊊p$：

由 $k<1$ 推得出 $k⩽1$（$q\Rightarrow p$），但 $k=1$ 满足 $p$ 却不满足 $q$（$p\nRightarrow q$）.

故 $p$ 是 $q$ 的必要而不充分条件，选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充分条件与必要条件的判定；三角不等式与参数范围的等价转化。

2. 核心方法：“先化简条件、后比集合”：把命题真假问题转化为集合包含关系。

3. 避坑指南：方向别搞反：“小范围推大范围”。$\{k<1\}$ 是 $\{k⩽1\}$ 的真子集，所以 $p$ 只是 $q$ 的必要条件；把包含方向弄反就会误选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：充要条件判断题几乎每年必考，载体轮换出现（三角、向量、不等式），福建卷 2015 用了三角不等式作载体，理科同年第 7 题也考了充要关系。

2. 结论推广: 若把结论改为 "$k⩽1$"，则两条件等价，答案变为充分必要条件（C）。

3. 方法推广: 充要条件判定通法：① 将两个命题都化成关于参数的集合；② 比较集合包含关系；③ 按”小推大”口诀定充分/必要。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2015-福建卷理-7