2015-福建卷文-18 解-统计综合

本题导读

统计与概率交汇题。（1）用”正难则反”或列举法算古典概型；（2）用各组组中值代表数据求加权平均。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(文)） 全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标. 根据相关报道提供的全网传播 2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前 20 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.

| 组号 | 分组 | 频数 | | 1 | $[4,5)$ | 2 | | 2 | $[5,6)$ | 8 | | 3 | $[6,7)$ | 7 | | 4 | $[7,8]$ | 3 |

(1) 现从融合指数在 $[4,5)$ 和 $[7,8]$ 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家进行调研，求至少有 1 家的融合指数在 $[7,8]$ 内的概率；

(2) 根据分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）涉及对象只有 $2+3=5$ 家，列举总数 ${\mathrm{C}}_5^2=10$；“至少 1 家”用对立事件（2 家都在 $[4,5)$）最省力。
2. （2）每组用组中值 $4.5,5.5,6.5,7.5$ 代表，按频数加权平均。

✅【答案】

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(1) $\frac{9}{10}$

(2) $6.05$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 融合指数在 $[4,5)$ 内的 2 家记为 $A,B$，在 $[7,8]$ 内的 3 家记为 $a,b,c$. 从 5 家中随机抽取 2 家，基本事件共 ${\mathrm{C}}_5^2=10$ 个.

法一（直接）：至少 1 家在 $[7,8]$ 内的事件含“恰 1 家”与“恰 2 家”两类，共

${\mathrm{C}}_3^1{\mathrm{C}}_2^1+{\mathrm{C}}_3^2=6+3=9\text{个}.$

法二（对立事件）：2 家都不在 $[7,8]$ 内，即 2 家都取自 $\{A,B\}$，只有 ${\mathrm{C}}_2^2=1$ 个.

故所求概率 $P=\frac{9}{10}$（法二：$P=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$）.

（2） 各组以组中值代表：

$\bar{x}=\frac{4.5\times 2+5.5\times 8+6.5\times 7+7.5\times 3}{20}=\frac{9+44+45.5+22.5}{20}=\frac{121}{20}=\mathrm{6.05.}$

所以这 20 家“省级卫视新闻台”融合指数的平均数为 $6.05$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型；由频数分布表求平均数（组中值加权）。

2. 核心方法：“有限对象直接列举”；“至少”型概率优先想对立事件。

3. 避坑指南：① 频数 2 与 3 对应的”组中值”是 4.5 与 7.5，别用组端点计算；② 概率答案是最简分数 $\frac{9}{10}$，不要写成 $0.9$ 之外的其他形式（本题分数与小数均可）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：“统计表 + 古典概型 + 数字特征”是新课标统计概率解答题的经典配置，福建卷与全国卷都常考。

2. 结论推广: 若问”恰有 1 家在 $[7,8]$ 内”，则概率为 $\frac{{\mathrm{C}}_3^1{\mathrm{C}}_2^1}{10}=\frac{3}{5}$；与本题合看恰覆盖全部基本事件的分类。

3. 方法推广: 古典概型两板斧：算样本空间总数 $n$、算事件包含数 $m$，$P=\frac{m}{n}$；“至少”型用 $1-P(\text{对立})$ 通常更快。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2013年福建卷理-11