2015-福建卷文-19 解-抛物线综合

本题导读

(1) 用抛物线定义把 $|AF|$ 转化为 $x_A+\frac{p}{2}$，一步得方程；（2）求出 $B$ 点坐标后，写出 $GA$、$GB$ 的方程，发现两直线关于 $x$ 轴对称，而 $F$ 在 $x$ 轴上，距离相等即相切。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(文)） 已知点 $F$ 为抛物线 $E:y^2=2px$（$p>0$）的焦点，点 $A(2,m)$ 在抛物线 $E$ 上，且 $|AF|=3$.

(1) 求抛物线 $E$ 的方程；

(2) 已知点 $G(-1,0)$，延长 $AF$ 交抛物线 $E$ 于点 $B$，证明：以点 $F$ 为圆心且与直线 $GA$ 相切的圆，必与直线 $GB$ 相切.

🔍【思路分析】

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1. （1）准线 $x=-\frac{p}{2}$，$|AF|=x_A+\frac{p}{2}=2+\frac{p}{2}=3\Rightarrow p=2$。
2. （2）由对称性设 $m>0$，求出 $A(2,2\sqrt{2})$；直线 $AF$ 与抛物线联立解出 $B\left(\frac{1}{2},-\sqrt{2}\right)$。
3. 写出 $GA$、$GB$ 的方程，发现常数项相同、$y$ 系数互为相反数，两直线关于 $x$ 轴对称；$F$ 在 $x$ 轴上 $\Rightarrow$ 到两直线距离相等。

✅【答案】

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(1) $y^2=4x$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1） 抛物线 $y^2=2px$ 的准线为 $x=-\frac{p}{2}$. 由抛物线的定义，

$|AF|=x_A+\frac{p}{2}=2+\frac{p}{2}=3⟹p=2.$

所以抛物线 $E$ 的方程为 $y^2=4x$.

（2） 由（1）知 $F(1,0)$. 由点 $A(2,m)$ 在 $E$ 上得 $m^2=8$；由抛物线的对称性，不妨设 $m=2\sqrt{2}$，即 $A(2,2\sqrt{2})$.

由 $F(1,0)$、$A(2,2\sqrt{2})$ 可得直线 $AF$ 的方程为 $y=2\sqrt{2}(x-1)$，即 $2\sqrt{2}x-y-2\sqrt{2}=0$.

联立 $\{\begin{array}{l}{y}^2=4x,\\ y=2\sqrt{2}(x-1),\end{array}$ 得 $2x^2-5x+2=0$，解得 $x=2$ 或 $x=\frac{1}{2}$，从而 $B\left(\frac{1}{2},-\sqrt{2}\right)$.

直线 $GA$ 的方程：$\frac{y-0}{2\sqrt{2}-0}=\frac{x+1}{2+1}$，即 $2\sqrt{2}x-3y+2\sqrt{2}=0$；

直线 $GB$ 的方程：$\frac{y-0}{-\sqrt{2}-0}=\frac{x+1}{\frac{1}{2}+1}$，即 $2\sqrt{2}x+3y+2\sqrt{2}=0$.

两个方程中 $x$ 的系数与常数项对应相同，$y$ 的系数互为相反数，所以直线 $GA$ 与 $GB$ 关于 $x$ 轴对称；又点 $F(1,0)$ 在 $x$ 轴上，故 $F$ 到直线 $GA$ 的距离等于 $F$ 到直线 $GB$ 的距离.

这表明以 $F$ 为圆心且与直线 $GA$ 相切的圆（半径为 $F$ 到 $GA$ 的距离）必与直线 $GB$ 相切，证毕.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的定义与标准方程；直线与抛物线联立；点到直线的距离；对称性。

2. 核心方法：“定义转化焦半径”求方程；“联立消元”定交点；“对称 + 等距离”证相切。

3. 避坑指南：① $|AF|=3$ 转化为 $x_A+\frac{p}{2}$ 时别漏抛物线定义这一步；② 由对称性”不妨设 $m>0$“要先交代，否则讨论不完整；③ 判断两直线对称时比较的是”标准化前”的方程系数结构。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：抛物线与圆的相切组合是解析几何解答题的中档配置，福建卷此前年份（如 2013 理 18）反复在抛物线上设题。

2. 结论推广: 结论可推广：过抛物线 $y^2=2px$ 焦点弦两端作两条过定点 $G(-1,0)$（即准线与对称轴交点相关位置）的直线，当 $G$ 取 $\left(-\frac{p}{2},0\right)$ 之外的特殊点时，常可用对称性化简距离关系。

3. 方法推广: 解析几何证明”等距/相切”的通用思路：把几何关系翻译成”点线距离相等”，再寻找对称结构避免硬算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013年福建卷理-18