2015-福建卷理-01 单-复数运算

本题导读

本题作为福建卷理科开篇第一题，将复数 $i$ 的幂次运算与集合的交集运算相结合，重点考查基础概念的理解与简单运算的准确性。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(理)） 若集合 $A=\{i,i^2,i^3,i^4\}$（$i$ 是虚数单位），$B=\{1,-1\}$，则 $A\cap B$ 等于 ()

A. $\{-1\}$　　　　　　　B. $\{1\}$　　　　　　　C. $\{1,-1\}$　　　　　　　D. $\varnothing$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简集合 A：根据虚数单位 $i$ 的幂次性质（周期为 4），分别计算 $i^1,i^2,i^3,i^4$ 的值，将集合 $A$ 化为标准数集形式。
2. 求交集：找出集合 $A$ 与集合 $B$ 共同拥有的元素。
3. 对照选项：选择符合结果的集合形式。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算复数 $i$ 的各次幂 根据复数运算规则：

• $i^1=i$
• $i^2=-1$
• $i^3=i^2\cdot i=-1\cdot i=-i$
• $i^4=(i^2{)}^2=(-1{)}^2=1$ 因此，集合 $A=\{i,-1,-i,1\}$。

第二步：求 $A\cap B$ 已知集合 $B=\{1,-1\}$。 对比集合 $A$ 与集合 $B$ 的元素：

• $-1\in A$ 且 $-1\in B$
• $1\in A$ 且 $1\in B$ 所以 $A\cap B=\{1,-1\}$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心工具：熟练掌握 $i^n$ 的周期性变化规律：$i,-1,-i,1$。
2. 易错点：集合运算本身不难，但需注意复数单位 $i$ 的符号，不要将 $i^3=-i$ 与 $i^2=-1$ 记混。
3. 计算技巧：对于此类题目，直接写出集合 $A$ 的所有元素后进行比对，比口算更稳妥。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 如果集合 $A$ 包含更多项，如 $A=\{i,i^2,\dots ,i^{2015}\}$，则需利用 $i^n$ 的求和性质或周期性批量处理。
• 变式思考: 若题目要求 $A\cup B$，则结果为 $\{i,-i,1,-1\}$。

🔗【关联脉络】

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C

类题演练(Links)

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