2015-福建卷理-03 单-双曲线定义

本题导读

本题考查双曲线定义的应用。解题关键在于根据双曲线方程确定参数 $a$，并利用“双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值等于 $2a$”这一核心定义建立等式。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(理)） 若双曲线 $E:\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，点 $P$ 在双曲线 $E$ 上，且 $|P{F}_1|=3$，则 $|P{F}_2|$ 等于 ()

A. 11　　　　　　　B. 9　　　　　　　C. 5　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

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1. 识别基本量：由双曲线方程确定 $a^2$ 的值，进而求出 $a$ 和实轴长 $2a$。
2. 应用定义：双曲线定义指出，双曲线上的点 $P$ 到两焦点 $F_1,F_2$ 的距离满足 $||P{F}_1|-|P{F}_2||=2a$。
3. 列式计算：将 $|P{F}_1|=3$ 和 $2a$ 代入定义式。注意距离必须为正数，结合双曲线的几何位置进行判定。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定参数 $a$ 由双曲线方程 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 可知： $a^2=9⟹a=3$。 所以实轴长 $2a=6$。

第二步：应用双曲线定义 根据双曲线定义，有 $||P{F}_1|-|P{F}_2||=2a=6$。 将 $|P{F}_1|=3$ 代入： $|3-|P{F}_2||=6$。

第三步：解方程求距离 解得 $3-|P{F}_2|=6$ 或 $3-|P{F}_2|=-6$。

• 若 $3-|P{F}_2|=6$，则 $|P{F}_2|=-3$（舍去，距离不能为负）；
• 若 $3-|P{F}_2|=-6$，则 $|P{F}_2|=9$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 双曲线第一定义：平面内与两个定点 $F_1,F_2$ 的距离差的绝对值等于常数 $2a$（$2a<|F_1{F}_2|$）的点的轨迹。
2. 绝对值的处理：在求距离时，一定要带绝对值符号。由于 $P{F}_1$ 的长度（3）小于 $2a$（6），点 $P$ 必然位于靠近 $F_1$ 的左支上，此时 $|P{F}_2|>|P{F}_1|$，所以 $|P{F}_2|=|P{F}_1|+2a$。
3. 易错点：混淆双曲线与椭圆的定义（椭圆是距离之和等于 $2a$）。如果本题是椭圆，答案则为 $2a-3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 这种“定义法”是处理圆锥曲线焦半径问题最快捷的手段。对于双曲线上的点 $P(x_0,y_0)$，焦半径公式也可以表示为 $|P{F}_1|=|e{x}_0+a|,|P{F}_2|=|e{x}_0-a|$。
• 变式思考: 若点 $P$ 在双曲线的右支上，且 $|P{F}_2|=3$，则 $|P{F}_1|$ 的值为多少？ (提示：根据 $|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a$，可得 $|P{F}_1|=3+6=9$。)

🔗【关联脉络】

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B

类题演练(Links)

• 2013年福建卷理-3
• 2014-福建卷理-19 解-离心率
• 2010-福建卷理-07