2015-重庆卷文-05 单-三视图

本题导读

本题考查由三视图还原复杂空间几何体并计算其体积，重点考查空间想象能力。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(文)） 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 ()

A. $\frac{1}{3}+2\pi$　　　　　　B. $\frac{13\pi }{6}$　　　　　　C. $\frac{7\pi }{3}$　　　　　　D. $\frac{5\pi }{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析三视图：左视图为一个圆中间有一条水平直径，正视图与俯视图的主体均为矩形，说明右侧是一个平放的圆柱。
2. 分析局部特征：正视图左侧下半部为一直角三角形，俯视图左侧为等腰三角形，说明左侧附加几何体只存在于水平面下方，为一个半圆锥。
3. 明确尺寸后分别计算圆柱与半圆锥的体积并求和。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由三视图可知，该几何体由左右两部分拼接而成： 右侧部分：是一个平放的圆柱。底面为侧面的圆，由左视图和正视图尺寸可知，圆柱底面半径 $r=1$，高（或母线长）$h=2$。 左侧部分：正视图显示图形仅在下半部分（高为 $1$），俯视图显示其为一个完整的等腰三角形，故该部分为一个半圆锥（底面为半圆，位于下半平面）。其底面半径 $r=1$，高 $h^{\prime }=1$。 右侧圆柱的体积：$V_1=\pi r^{2}h=\pi \times 1^2\times 2=2\pi$。 左侧半圆锥的体积：$V_2=\frac{1}{2}\times \left(\frac{1}{3}\pi r^2{h}^{\prime }\right)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times \pi \times 1^2\times 1=\frac{\pi }{6}$。 故该几何体的总体积 $V=V_1+V_2=2\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{13\pi }{6}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三视图还原复杂拼接体、圆锥与圆柱体积计算。
2. 核心方法：拆分法分析不同部分的投影特征。
3. 避坑指南：必须注意正视图左侧三角形仅存在于中心线下方，若误将其看作一个完整的圆锥，体积会多算 $\frac{\pi }{6}$ 导致错选 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考立体几何三视图求体积经典题。
2. 结论推广: 对于非中心对称几何体，需严格比对三视图中的空缺区域（如本题的半圆锥）进行空间复原。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练(Links)

• 2007-重庆卷理-10 单-空间平面向量线性展开
• 2022-高考上海卷-5
• 2014-湖北卷理-08 单-体积公式