2015-重庆卷文-09 单-双曲线性质

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质，关键在于求出交点坐标并利用垂直关系建立 $a,b$ 的方程。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(文)） 设双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的右焦点是 $F$，左、右顶点分别是 $A_1,A_2$，过 $F$ 作 $A_1{A}_2$ 的垂线与双曲线交于 $B,C$ 两点.若 $A_{1}B\perp A_{2}C$，则该双曲线的渐近线的斜率为 ()

A. $\pm \frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　C. $\pm 1$　　　　　　　D. $\pm \sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设右焦点 $F(c,0)$，由于 $BC\perp A_1{A}_2$，将 $x=c$ 代入双曲线方程求出 $B,C$ 两点坐标。
2. 计算直线 $A_{1}B$ 与 $A_{2}C$ 的斜率。
3. 由 $A_{1}B\perp A_{2}C$ 得到 $k_{A_{1}B}\cdot k_{A_{2}C}=-1$，推导得出 $a,b$ 之间的关系并求解渐近线斜率 $\pm \frac{b}{a}$。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $A_1(-a,0)$，$A_2(a,0)$，$F(c,0)$，过 $F$ 作 $A_1{A}_2$ 的垂线，直线方程为 $x=c$ 代入双曲线方程可得 $y^2=b^2\left(\frac{c^2}{a^2}-1\right)=\frac{b^4}{a^2}$，即 $y=\pm \frac{b^2}{a}$ 不妨取 $B\left(c,\frac{b^2}{a}\right)$，$C\left(c,-\frac{b^2}{a}\right)$

计算斜率： $k_{A_{1}B}=\frac{\frac{b^2}{a}-0}{c-(-a)}=\frac{b^2}{a(c+a)}$ $k_{A_{2}C}=\frac{-\frac{b^2}{a}-0}{c-a}=\frac{-b^2}{a(c-a)}$

由于 $A_{1}B\perp A_{2}C$，则 $k_{A_{1}B}\cdot k_{A_{2}C}=-1$，即： $\frac{b^2}{a(c+a)}\times \frac{-b^2}{a(c-a)}=-1⟹\frac{b^4}{a^2(c^2-a^2)}=1$ 因为 $c^2-a^2=b^2$，代入上式得： $\frac{b^4}{a^2{b}^2}=1⟹\frac{b^2}{a^2}=1⟹\frac{b}{a}=1$ 因此双曲线的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm x$，斜率为 $\pm 1$

C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的通径公式（过焦点垂直于实轴的弦长为 $\frac{2b^2}{a}$）及渐近线斜率 $k=\pm \frac{b}{a}$。
2. 核心方法：利用直线的垂直条件 $k_1{k}_2=-1$ 转化代数式。
3. 避坑指南：注意顶点 $A_1,A_2$ 的坐标为 $(\pm a,0)$ 而非 $(\pm c,0)$，计算斜率时字母较多要保持严谨。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自双曲线几何性质的基础综合题，结合了通径与两直线垂直的性质。
2. 结论推广：对焦点在 $x$ 轴上的双曲线，若过焦点且垂直于实轴的弦为 $BC$，当 $A_{1}B\perp A_{2}C$ 时，必定有 $b=a$，此时双曲线为等轴双曲线。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

C

类题演练(Links)

• 2014-重庆卷理-21 解-椭圆方程与性质
• 2014-重庆卷理-08 单-双曲线定义
• 2008-重庆卷理-08