2015-重庆卷理-12 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项展开式中特定项系数的求解。关键在于正确写出通项公式，通过对指数部分的整理建立方程求出项数 $k$，最后注意系数不仅包含组合数，还包含二项式中常数因子的幂。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(理)）

${\left(x^3+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}^5$ 的展开式中 $x^8$ 的系数是 $\underline{}$.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项公式：利用 $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$ 写出展开式的通项。

2. 整理幂函数形式：将 $x$ 的所有幂次合并，注意 $\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$。

3. 建立指数方程：令 $x$ 的合指数等于 8，解出 $k$。

4. 计算系数：将 $k$ 的值代入通项中的系数部分（组合数与常数的乘积）。

✅【答案】

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$\frac{5}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：写出并化简通项公式

该二项展开式的通项为：

$T_{k+1}=C_5^k\cdot (x^3{)}^{5-k}\cdot {\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}^k$

$T_{k+1}=C_5^k\cdot x^{15-3k}\cdot {\left(\frac{1}{2}{x}^{-1/2}\right)}^k$

$T_{k+1}=C_5^k\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^k\cdot x^{15-3k}\cdot x^{-k/2}$

$T_{k+1}={\left(\frac{1}{2}\right)}^k{C}_5^k\cdot x^{15-\frac{7}{2}k}$

第二步：求解 $k$ 的值

令 $x$ 的指数部分等于 8：

$15-\frac{7}{2}k=8$

$\frac{7}{2}k=7$

解得 $k=2$。

第三步：计算 $x^8$ 的系数

当 $k=2$ 时，系数为：

${\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot C_5^2=\frac{1}{4}\cdot \frac{5\times 4}{2\times 1}=\frac{1}{4}\cdot 10=\frac{5}{2}$。

故答案为：$\frac{5}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 区分两个“系数”：

• 二项式系数：指 $C_n^k$，仅与 $n$ 和项数有关。

• 项的系数：指该项中除字母外的所有部分，包含二项式系数及 $a,b$ 中常数项的幂。本题考查的是后者。

2. 分数指数幂运算：在化简过程中，根号和分式必须统一转化为 $x$ 的分数指数幂形式（如 $x^{-1/2}$）再进行加减运算。

3. 计算陷阱：遗漏 $(\frac{1}{2}{)}^k$ 是此类题目最常见的扣分点。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 如果 $n$ 较小（如本题 $n=5$），在考试时间充裕的情况下，也可以通过观察法快速判断。由于每次增加一个 $1/\sqrt{x}$ 相当于减少 $3.5$ 个幂次，从 $x^{15}$ 开始，减两次恰好为 $15-7=8$。

• 变式思考: 若要求该展开式中的常数项，应如何处理？

(提示：令 $15-\frac{7}{2}k=0$，解得 $k=\frac{30}{7}$。由于 $k$ 必须为整数，故该展开式中不存在常数项。)

🔗【关联脉络】

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