2015-陕西卷文-14 填-水深曲线

本题导读

最小值 $k-3=2\Rightarrow k=5$，最大值 $k+3=8$。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(文)） 如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 $y=3\sin \left(\frac{\pi }{6}x+\phi \right)+k$. 据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为 $\underline{}$ .

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最小值 $k-3=2\Rightarrow k=5$，最大值 $k+3=8$。

✅【答案】

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$8$

✍【详细解析】

Abstract

函数 $y=3\sin \left(\frac{\pi }{6}x+\phi \right)+k$ 的振幅为 3，故最大值为 $k+3$，最小值为 $k-3$。

由图象可知，这段时间水深的最小值为 2，故 $k-3=2$，解得 $k=5$。

因此这段时间水深的最大值为 $k+3=8$（m）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦型函数 $A\sin (\omega x+\phi )+k$ 的最值；图象信息的读取

核心方法：“振幅定上下偏移，图象读数定 $k$”

避坑指南：①图上标注的 2 是最小值不是 $k$；②不需要求 $\phi$，最大最小值只由 $k$ 与振幅决定——参数 $\phi$ 是命题人放的”烟雾”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数实际应用的经典场景（潮汐水深）（doc 考点定位：三角函数的图像和性质），考查”图象读数反解参数”的能力。

结论推广：一般地，$y=A\sin (\omega x+\phi )+k$ 的值域为 $[k-|A|,k+|A|]$，由图读出任一最值即可定 $k$（$A$ 已知时）。

方法推广：实际应用中的正弦模型：先识别 $A$（振幅）与 $k$（平衡位置），图象上的最高/最低点直接给出方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练(Links)

• 2010-陕西卷理-14
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