2015-陕西卷文-18 解-折叠棱锥

本题导读

折叠前 $AC\perp BE$，折叠保持 $A_{1}O\perp BE$、$OC\perp BE$，故 $BE\perp$ 平面 $A_{1}OC$，又 $CD\parallel BE$；$h=\frac{a}{\sqrt{2}}$，$V=\frac{a^3}{3\sqrt{2}}=36\sqrt{2}\Rightarrow a=6$。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(文)） 如图 1，在直角梯形 $ABCD$ 中，$AD\parallel BC$，$\angle BAD=\frac{\pi }{2}$，$AB=BC=\frac{1}{2}AD=a$，$E$ 是 $AD$ 的中点，$O$ 是 $AC$ 与 $BE$ 的交点. 将 $△ABE$ 沿 $BE$ 折起到图 2 中 $△A_{1}BE$ 的位置，得到四棱锥 $A_1-BCDE$.

(1) 证明：$CD\perp$ 平面 $A_{1}OC$；

(2) 若平面 $A_{1}BE\perp$ 平面 $BCDE$，四棱锥 $A_1-BCDE$ 的体积为 $36\sqrt{2}$，求 $a$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

折叠前 $AC\perp BE$，折叠保持 $A_{1}O\perp BE$、$OC\perp BE$，故 $BE\perp$ 平面 $A_{1}OC$，又 $CD\parallel BE$；$h=\frac{a}{\sqrt{2}}$，$V=\frac{a^3}{3\sqrt{2}}=36\sqrt{2}\Rightarrow a=6$。

✅【答案】

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(2) $a=6$

✍【详细解析】

Abstract

折叠前：以 $A$ 为原点、$AD$、$AB$ 所在直线为轴建立平面直角坐标参照（或在平面内计算），$B(0,-a)$，$C(a,-a)$，$D(2a,0)$，$E(a,0)$，则 $\overrightarrow{BE}=(a,a,0)$ 方向，$\overrightarrow{AC}=(a,-a)$，故 $AC\perp BE$（等腰直角三角形中的对角线互相垂直，也可用勾股逆定理验证 $△ABE$ 中 $AB=AE=a$、$BE=\sqrt{2}a$ 与 $△BCE$ 的边长关系）。

(1) 因为 $O$ 是 $AC$ 与 $BE$ 的交点，$O$ 在折痕 $BE$ 上，所以 $OC\perp BE$；折叠是绕 $BE$ 进行的，保持 $A_{1}O\perp BE$（折叠前 $AO\perp BE$）。

$A_{1}O$ 与 $OC$ 是平面 $A_{1}OC$ 内相交于 $O$ 的两条直线，且都垂直于 $BE$，故 $BE\perp$ 平面 $A_{1}OC$。

又折叠前 $AE\parallel BC$ 且 $AE=a=BC$，故 $BCDE$ 是平行四边形，$CD\parallel BE$。由 $BE\perp$ 平面 $A_{1}OC$ 得 $CD\perp$ 平面 $A_{1}OC$。

(2) 四边形 $BCDE$ 是平行四边形，底边 $BC=a$，高为 $a$（$AB\perp BC$），故其面积 $S=a^2$。

平面 $A_{1}BE\perp$ 平面 $BCDE$ 时，四棱锥的高等于 $A_1$ 到 $BE$ 的距离。$△ABE$ 是等腰直角三角形（$AB=AE=a$，$BE=\sqrt{2}a$），$A$ 到 $BE$ 的距离为

$h=\frac{2S_{△ABE}}{BE}=\frac{a^2}{\sqrt{2}a}=\frac{a}{\sqrt{2}}$。

于是 $V=\frac{1}{3}S\cdot h=\frac{1}{3}{a}^2\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a^3}{3\sqrt{2}}=36\sqrt{2}$，

解得 $a^3=216$，即 $a=6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：翻折中的垂直关系保持；线面垂直的判定与性质；四棱锥的体积

核心方法：“折痕是垂直关系的锚点：折前 $AO\perp BE$ → 折后 $A_{1}O\perp BE$“，平行四边形传递 $CD\parallel BE$

避坑指南：①折叠只改变 $△ABE$ 内部与底面的位置关系，折痕 $BE$ 上的点（如 $O$）到 $A$、$A_1$ 的距离与角度在各自半平面内不变；②四棱锥的高不是 $A_{1}A$，而是 $A_1$ 到底面 $BCDE$ 的距离，面面垂直时恰为 $A_1$ 到 $BE$ 的距离；③$V=\frac{a^3}{3\sqrt{2}}=36\sqrt{2}$ 解立方时 $a^3=216=6^3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“梯形折叠成四棱锥”是翻折型立几大题的经典构图（doc 考点定位：线面垂直的判定、面面垂直的性质定理、空间几何体的体积），本题以等腰直角三角形为折体、平行四边形为底座。

结论推广：一般地，等腰直角三角形（直角边 $a$）沿斜边为折痕翻折，顶点到斜边的距离恒为 $\frac{a}{\sqrt{2}}$；折痕两侧的垂直关系”平折不变”是所有翻折题的通则。

方法推广：翻折题两问结构：第一问用”折前算好的垂直/长度”加折痕锚点推线面垂直；第二问把面面垂直翻译成”高 = 折体顶点到折痕的距离”，回平面图形算高。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练(Links)

• 2015-陕西卷理-18 解-线面垂直
• 2013年陕西卷理-18
• 2012年陕西卷理-18