2015-陕西卷理-07 单-数量积

本题导读

本题考查向量数量积的性质、向量模的运算律以及向量模的不等式关系。要求学生熟练掌握向量数量积的定义式及其与模的转化。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(理)） 对任意向量 $\vec{a},\vec{b}$，下列关系式中不恒成立的是 ()

A. $|\vec{a}\cdot \vec{b}|\le |\vec{a}||\vec{b}|$　　　　　　　　B. $|\vec{a}-\vec{b}|\le ||\vec{a}|-|\vec{b}||$

C. $(\vec{a}+\vec{b}{)}^2=|\vec{a}+\vec{b}{|}^2$　　　　　　D. $(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b})={\vec{a}}^2-{\vec{b}}^2$

🔍【思路分析】

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1. 分析 A 选项：利用向量数量积的定义式 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$。由于 $|\cos \theta |\le 1$，可判定其恒成立性。
2. 分析 B 选项：考查向量模的三角形不等式。回忆三角形两边之差与第三边的关系，或利用向量减法的几何意义进行判定。
3. 分析 C 选项：利用性质 ${\vec{a}}^2=|\vec{a}{|}^2$，判断向量平方与模的平方的关系。
4. 分析 D 选项：验证向量数量积是否满足分配律（类似于平方差公式）。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

选项 A 判定：恒成立 由向量数量积定义，$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos ⟨\vec{a},\vec{b}⟩$。 两边取绝对值：$|\vec{a}\cdot \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}||\cos ⟨\vec{a},\vec{b}⟩|$。 因为 $|\cos ⟨\vec{a},\vec{b}⟩|\le 1$，所以 $|\vec{a}\cdot \vec{b}|\le |\vec{a}||\vec{b}|$ 恒成立。

选项 B 判定：不恒成立 根据向量模的性质（三角形不等式），对于任意向量 $\vec{a},\vec{b}$，恒有： $||\vec{a}|-|\vec{b}||\le |\vec{a}-\vec{b}|\le |\vec{a}|+|\vec{b}|$ B 选项中的符号方向相反，故不恒成立。 反例：设 $\vec{a}=(1,0)$，$\vec{b}=(-1,0)$。 则 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=1$，则 $||\vec{a}|-|\vec{b}||=0$。 而 $\vec{a}-\vec{b}=(2,0)$，则 $|\vec{a}-\vec{b}|=2$。 此时 $2\le 0$ 易知不成立。

选项 C 判定：恒成立 由于向量的平方等于其模的平方，即 ${\vec{x}}^2=|\vec{x}{|}^2$。 令 $\vec{x}=\vec{a}+\vec{b}$，则 $(\vec{a}+\vec{b}{)}^2=|\vec{a}+\vec{b}{|}^2$ 恒成立。

选项 D 判定：恒成立 向量数量积满足分配律： $(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b})=\vec{a}\cdot \vec{a}-\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{a}-\vec{b}\cdot \vec{b}={\vec{a}}^2-{\vec{b}}^2$。 （注：$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$，交换律成立）

答案：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：向量数量积定义 $|\vec{a}\cdot \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}||\cos \theta |$；向量模的不等式 $||\vec{a}|-|\vec{b}||\le |\vec{a}\pm \vec{b}|\le |\vec{a}|+|\vec{b}|$；性质 ${\vec{a}}^2=|\vec{a}{|}^2$。
• 核心方法：定义验证法。
• 避坑指南：
  1. 混淆向量模的不等式方向。
  2. 错误认为向量乘法与实数乘法完全一致（虽然在此题涉及的分配律中一致，但在其他如结合律中不成立）。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 只有当 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线且方向相同时，$|\vec{a}-\vec{b}|=||\vec{a}|-|\vec{b}||$ 成立。 *方法推广: 判定不等式“不恒成立”，只需找到一个反例。

• 相关知识点：柯西不等式（向量形式）、向量减法的平行四边形法则。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练(Links)

• 2013年陕西卷理-16
• 2013年陕西卷理-3
• 2012年陕西卷理-16