2015-陕西卷理-10 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划的实际应用。核心在于根据资源限制建立线性不等式组（可行域），并结合目标函数（利润）的几何意义，通过作图寻找最优解点。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(理)） 某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料.已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如下表所示.如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得最大利润为

| 原料 | 甲（吨） | 乙（吨） | 原料限额（吨） | | A | 3 | 2 | 12 | | B | 1 | 2 | 8 | ()

A. 12 万元　　　B. 16 万元　　　C. 17 万元　　　D. 18 万元

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设变量：设每天生产甲产品 $x$ 吨，乙产品 $y$ 吨。
2. 列不等式组：根据原料 A、B 的限额及产量非负性列出约束条件。
3. 确定目标函数：设总利润为 $z$，根据单价写出 $z=3x+4y$。
4. 绘制可行域：在平面直角坐标系中画出不等式组表示的阴影区域。
5. 寻找最优解：平移直线 $3x+4y=0$，观察当直线经过可行域的哪个顶点时，$z$ 取得最大值。通常最优解出现在边界线的交点处。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：建立数学模型 设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为 $x,y$ 吨，获利为 $z$ 万元。 由题意可列出约束条件： $\{\begin{array}{l}3x+2y\le 12\\ x+2y\le 8\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$ 目标函数为：$z=3x+4y$。

第二步：绘制可行域并确定顶点 在坐标系中画出直线 $3x+2y=12$ 和 $x+2y=8$，可行域为由 $(0,0),(4,0),(0,4)$ 及两直线交点围成的四边形区域。 联立方程组： $\{\begin{array}{l}3x+2y=12\\ x+2y=8\end{array}$ 解得交点 $A(2,3)$。

第三步：平移目标函数线 将目标函数变形为 $y=-\frac{3}{4}x+\frac{z}{4}$。 这是一组斜率为 $-\frac{3}{4}$ 的平行直线，$z$ 的大小取决于直线在 $y$ 轴上的截距。 观察图象可知，当直线经过可行域的顶点 $A(2,3)$ 时，截距最大，此时 $z$ 取得最大值。

第四步：计算最大利润 将 $A(2,3)$ 代入目标函数： $z_{max}=3\times 2+4\times 3=6+12=18\text{（万元）}$

答案：D 

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：线性规划的建模（约束条件与目标函数）；可行域的判定；数形结合寻找最优解。
• 核心方法：图解法。其步骤可简记为：列式 $\to$ 画图 $\to$ 移线 $\to$ 求点 $\to$ 代值。
• 避坑指南：
  1. 画线时注意实虚（本题有等号，为实线）。
  2. 判定阴影区域方向时，可用原点 $(0,0)$ 进行代入验证。
  3. 计算交点坐标时要细心，这是决定结果正误的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若目标函数系数均为正，最大值通常在远离原点的顶点处取得；若系数有负，则需重新判定截距意义。 *方法推广: 面对无法整除的交点坐标，可利用斜率比较法判定最优解落在哪个顶点。

• 相关知识点：二元一次不等式组表示的平面区域、直线的截距式方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.13 对数平均与指数平均不等式专题
• 10.07 常见三角不等式

类题演练(Links)

• 2013年陕西卷理-10
• 2012年陕西卷理-10
• 2014-陕西卷理-10 单-导数几何意义