2015-陕西卷理-13 填-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的对称性质与中位数的概念。关键在于理解等差数列中，首末两项之和等于中位数的两倍。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(理)） 中位数 1010 的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 理解中位数与等差数列的关系：在等差数列中，如果项数为奇数，中位数就是中间那一项；如果项数为偶数，中位数是中间两项的平均值。
2. 利用等差中项性质：无论项数奇偶，等差数列的首项 $a_1$ 与末项 $a_n$ 之和，始终等于中间两项（或中间一项的两倍）之和。
3. 建立等量关系：设首项为 $a_1$，末项为 $a_n$，中位数为 $M$。则有： $a_1+a_n=2M$
4. 代入求解：将 $M=1010$，$a_n=2015$ 代入方程计算。

✅【答案】

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5

✍【详细解析】

Abstract

根据等差数列的性质，首末两项的平均值等于该数列的中位数。 设该等差数列的首项为 $a_1$，末项为 $a_n$。 已知中位数 $M=1010$，末项 $a_n=2015$。 根据公式： $\frac{a_1+a_n}{2}=M$ 即： $a_1+2015=2\times 1010$ $a_1+2015=2020$ 解得： $a_1=2020-2015=5$

答案：5

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等差数列的性质 $a_k+a_{n-k+1}=a_1+a_n$；等差中项的概念。
• 核心方法：性质转化法。将统计学中的“中位数”转化为数列中的“等差中项”来处理。
• 避坑指南：
  1. 不要纠结于数列到底有多少项，项数的奇偶不影响首末项之和与中位数的关系。
  2. 确保计算准确，$2\times 1010$ 的进位不要算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若一组数成等差数列，其算术平均数、中位数、首末项平均数三者完全相等。 *方法推广: 求解等差数列前 $n$ 项和时，常用 $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=n\cdot M$（其中 $M$ 为中位数）。

• 相关知识点：等差数列通项公式、等比中项。

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