2016-上海卷文-16 单-立体几何

本题导读

本题考查空间中直线与直线的位置关系、正方体的几何性质，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(文)） 如图，在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$E,F$ 分别为 $BC,B{B}_1$ 的中点，则下列直线中与直线 $EF$ 相交的是 ()

A. 直线 $A{A}_1$　　B. 直线 $A_1{B}_1$　　C. 直线 $A_1{D}_1$　　D. 直线 $B_1{C}_1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析直线 $EF$ 的位置：$E$ 是 $BC$ 中点，$F$ 是 $B{B}_1$ 中点，故 $EF$ 在侧面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 内（或通过平移分析其方向）。
2. 逐一检查选项中的直线与直线 $EF$ 是否在同一个平面内且有交点。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$E$ 是 $BC$ 中点，$F$ 是 $B{B}_1$ 中点，连接 $EF$。

• 对于 (A) 直线 $A{A}_1$：直线 $A{A}_1$ 与侧面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 平行，直线 $EF$ 在侧面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 内，故直线 $EF$ 与直线 $A{A}_1$ 异面。
• 对于 (B) 直线 $A_1{B}_1$：直线 $A_1{B}_1\parallel AB$，而 $EF$ 与 $AB$ 相交或异面，通过延长 $EF$ 与 $A_1{B}_1$ 所在的平面分析可知，它们位于同一平面或异面，具体检查交点：在侧面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 的平行平面或延伸中，直线 $EF$ 延长后与 $A_1{B}_1$ 的延长线相交（或者通过平移 $EF$ 至 $B_{1}C$ 与 $A_1{B}_1$ 相交于点 $B_1$）。准确来说，$F$ 是 $B{B}_1$ 中点，延长 $EF$ 会交 $B_{1}B$ 的延长线于点 $B_1$ 吗？不对，直接看 (D)：直线 $B_1{C}_1$ 在正方体顶面上，而 $EF$ 在侧面，它们异面。 再仔细检查选项 (B) 直线 $A_1{B}_1$： 在侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 中，$A_1{B}_1$ 平行于 $AB$。$EF$ 所在的侧面与 $AB{B}_1{A}_1$ 相交于直线 $B{B}_1$，点 $F$ 在 $B{B}_1$ 上。 因为直线 $EF$ 经过点 $F$，而点 $F$ 在直线 $B{B}_1$ 上，且直线 $A_1{B}_1$ 与直线 $B{B}_1$ 相交于点 $B_1$， 所以直线 $EF$ 与直线 $A_1{B}_1$ 位于同一个平面（侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 的延伸或通过共面判定），并且经延长后相交。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 空间直线位置关系（相交、平行、异面）。
2. 核心方法: 借助正方体模型进行空间平移与共面性判定。
3. 避坑指南：判断两直线相交不仅要求它们不平行，还必须保证它们在同一个平面内。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考立体几何选择题常规题。
2. 结论推广：共面直线的相交判定通常转化为寻找它们在同一平面的交点。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2014-天津卷理-17 解-空间中直线与直线垂直判定
• 2014-广东卷理-07 单-空间中直线与直线的位置关系
• 1998-上海文-14 单-空间中的命题判定

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