2016-上海卷文-20 解-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的定义及其标准方程、几何图形面积计算（矩形、五边形、直角梯形）。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(文)） 有一块正方形菜地 $EFGH$，$EH$ 所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到 $F$ 点或河边运走. 于是，菜地分为两个区域 $S_1$ 和 $S_2$，其中 $S_1$ 中的蔬菜运到河边较近，$S_2$ 中的蔬菜运到 $F$ 点较近，而菜地内 $S_1$ 和 $S_2$ 的分界线 $C$ 上的点到河边与到 $F$ 点的距离相等.现建立平面直角坐标系，其中原点 $O$ 为 $EF$ 的中点，点 $F$ 的坐标为 $(1,0)$，如图.

(1)求菜地内的分界线 $C$ 的方程；

(2)菜农从蔬菜运量估计出 $S_1$ 面积是 $S_2$ 面积的两倍，由此得到 $S_1$ 面积的“经验值”为 $\frac{8}{3}$.设 $M$ 是 $C$ 上纵坐标为 $1$ 的点，请计算以 $EH$ 为一边、另一边过点 $M$ 的矩形的面积，及五边形 $EOMGH$ 的面积，并判断哪一个更接近于 $S_1$ 面积的经验值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求方程）：

• 识别几何轨迹：分界线 $C$ 上的点满足“到定点 $F$ 的距离等于到定直线 $EH$ 的距离”。
• 确定参数：由于 $O(0,0)$ 是 $EF$ 中点且 $F(1,0)$，则 $E(-1,0)$。直线 $EH$ 的方程为 $x=-1$。
• 利用定义：这符合抛物线的定义。焦点 $F(1,0)$，准线 $x=-1$，则 $p=2$，开口向右。

2. 第二问（面积比较）：

• 求点 $M$：将 $y=1$ 代入抛物线方程求出 $x_M$。
• 计算矩形面积：确定矩形的长（$EH=2$）和宽（点 $M$ 到 $EH$ 的距离）。
• 计算五边形面积：五边形 $EOMGH$ 可分割为一个矩形和一个直角梯形（或矩形减去三角形）。
• 比较误差：计算两面积与 $\frac{8}{3}$ 之差的绝对值。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解： （1）依题意，分界线 $C$ 上的点到定点 $F(1,0)$ 的距离等于到定直线 $EH$ 的距离。 因为 $O$ 为 $EF$ 中点，$F(1,0)$，所以 $E(-1,0)$。 故直线 $EH$ 的方程为 $x=-1$。 由抛物线定义可知，曲线 $C$ 是以 $F(1,0)$ 为焦点，以 $EH$ 为准线的抛物线的一部分。 其方程为 $y^2=2px$，其中 $\frac{p}{2}=1$，即 $p=2$。 故抛物线方程为 $y^2=4x$。 由于点在正方形 $EFGH$ 内，其边长为 $2$，则 $0\le y\le 2$。 所以分界线 $C$ 的方程为：$y^2=4x(0\le y\le 2)$。

（2）因为 $M$ 在 $C$ 上且纵坐标为 $1$，代入 $y^2=4x$ 得 $1=4x⟹x=\frac{1}{4}$。 故 $M(\frac{1}{4},1)$。 ① 矩形面积： 以 $EH$ 为一边，另一边过 $M$ 的矩形，其长 $EH=2$，宽为点 $M$ 到直线 $x=-1$ 的距离，即 $d=\frac{1}{4}-(-1)=\frac{5}{4}$。 面积 $S_{矩形}=2\times \frac{5}{4}=\frac{5}{2}=2.5$。 ② 五边形 $EOMGH$ 面积： 该五边形可看作矩形 $EFGH$ 减去梯形（或组合图形）。 或者：$S_{EOMGH}=S_{矩形EOKH}+S_{梯形OMGK}$（设 $K,G$ 相关坐标）。 正方形顶点坐标为 $E(-1,0),F(1,0),G(1,2),H(-1,2)$。 $S_{EOMGH}=S_{矩形EFGH}-S_{S_2\text{近似部分}}$。 更直接地，五边形 $EOMGH$ 由矩形 $EOKH$（面积为 $1\times 2=2$）和直角梯形 $OMGK$ 组成（其中 $K$ 是 $O$ 在 $HG$ 上的投影）。 $S_{EOMGH}=S_{矩形EOKH}+\frac{1}{2}(O{M}_{proj}+G_x)\cdot GH=2+\frac{1}{2}(0+1)\times 1+\dots$ （更正计算）：五边形面积 = 矩形 $EHGM$ 的面积？不，按顶点计算。 $E(-1,0),O(0,0),M(\frac{1}{4},1),G(1,2),H(-1,2)$。 $S_{EOMGH}=S_{梯形EOMH}+S_{梯形MKHG}$… 计算得 $S_{EOMGH}=\frac{11}{4}=2.75$。

③ 比较： 经验值 $S_1=\frac{8}{3}\approx 2.667$。 $|2.5-2.667|=0.167=\frac{1}{6}$。 $|2.75-2.667|=0.083=\frac{1}{12}$。 因为 $\frac{1}{12}<\frac{1}{6}$，所以五边形 $EOMGH$ 的面积更接近于经验值。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 建模意识：将生活描述（到河边与到点距离相等）转化为数学定义（抛物线）是此类题目的得分关键。
• 边界条件：解答题中务必注明变量范围（如 $0\le y\le 2$），体现逻辑严密性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：一般地，动点到定点 $F(c,0)$ 与定直线 $x=-c$ 距离相等，轨迹为 $y^2=4cx$；若把本题中 $F$ 改为 $(2,0)$、小河改为直线 $x=-2$，同法可得分界线方程为 $y^2=8x$。
2. 知识关联：本题是抛物线定义（到焦点与准线距离相等）在实际情境中的应用；“矩形、五边形面积夹逼经验值”体现了估算与精确计算相结合的近似思想，也是曲边面积（积分雏形）的入门直觉。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-20 解-抛物线
• 2017-全国卷III理-20 解-抛物线
• 2017-全国卷II文-12 单-抛物线

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