2016-上海卷理-03 填-平面解析几何

本题导读

本题考查平面解析几何、两平行直线间的距离公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(理)） 已知平行直线 $l_1:2x+y-1=0$，$l_2:2x+y+1=0$，则 $l_1$ 与 $l_2$ 的距离是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 核对系数：在使用平行线间距离公式前，必须确保两条直线方程中 $x$ 和 $y$ 的系数（即 $A$ 和 $B$）完全一致。本题中 $A=2,B=1$，符合要求。
2. 提取常数：识别常数项 $C_1=-1$ 和 $C_2=1$。
3. 代入公式：使用公式 $d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 进行计算。
4. 化简结果：对计算出的根式进行分母有理化。

✅【答案】

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$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 两条平行直线的方程分别为： $l_1:2x+y-1=0$ $l_2:2x+y+1=0$ 此处 $A=2$，$B=1$，$C_1=-1$，$C_2=1$。 根据两平行直线间的距离公式： $d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 代入数据得： $d=\frac{|-1-1|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{|-2|}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$ 分母有理化得： $d=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

故答案为 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 公式应用前提：若直线方程为 $l_1:2x+y-1=0$ 和 $l_2:4x+2y+2=0$，则不能直接代入 $C_1=-1,C_2=2$。必须先将 $l_2$ 化为 $2x+y+1=0$，使 $A,B$ 对齐。
• 几何直观：两条直线在 $y$ 轴上的截距分别为 $1$ 和 $-1$，它们之间的垂直距离必然小于纵截距之差 $2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 点到直线距离：若忘记平行线距离公式，也可在 $l_1$ 上任取一点（如 $(0,1)$），计算该点到 $l_2$ 的距离 $d=\frac{|2(0)+1+1|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$。
• 变式练习：求直线 $3x+4y-5=0$ 与 $3x+4y+5=0$ 之间的距离。（答案：$d=\frac{|-5-5|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{10}{5}=2$）

🔗【关联脉络】

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