2016-上海卷理-17 单-等比数列

本题导读

本题考查无穷等比数列的求和公式、数列的极限，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(理)） 已知无穷等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$，前 $n$ 项和为 $S_n$，且 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=S$.下列条件中，使得 $2S_n<S$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) 恒成立的是 ()

A. $a_1>0,0.6<q<0.7$　　　　　B. $a_1<0,-0.7<q<-0.6$

C. $a_1>0,0.7<q<0.8$　　　　　D. $a_1<0,-0.8<q<-0.7$

🔍【思路分析】

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1. 确定公式：无穷等比数列和存在，则 $|q|<1$。和为 $S=\frac{a_1}{1-q}$，前 $n$ 项和 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。
2. 化简不等式：将公式代入 $2S_n<S$，得 $2\cdot \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}<\frac{a_1}{1-q}$。 由于 $|q|<1$，故 $1-q>0$，不等式等价于 $2a_1(1-q^n)<a_1$。
3. 分类讨论 ${\mathbf{a}}_1$：

• 若 $a_1>0$：不等式变为 $2(1-q^n)<1⟹1-2q^n<0⟹q^n>\frac{1}{2}$。
• 若 $a_1<0$：不等式变为 $2(1-q^n)>1⟹1-2q^n>0⟹q^n<\frac{1}{2}$。

4. 分析 $n$ 的任意性：要求对一切 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 恒成立。

• 若 $a_1>0$，$q^n>\frac{1}{2}$ 对所有 $n$ 成立。由于 $n\to \infty$ 时 $q^n\to 0$，这不可能。排除 (A)(C)。
• 若 $a_1<0$，$q^n<\frac{1}{2}$ 对所有 $n$ 成立。若 $q\in (-1,0)$，则 $q^n$ 在正负波动。最大值发生在 $n$ 为偶数时，即 $(q^2{)}^{n/2}<\frac{1}{2}$。只需满足 $q^2<\frac{1}{2}\approx 0.5$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 利用无穷等比数列公式： 因为 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=S$ 存在，所以 $|q|<1$，$S=\frac{a_1}{1-q}$。 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。 代入 $2S_n<S$ 得：$2\cdot \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}<\frac{a_1}{1-q}$。 消去分母（$1-q>0$）得：$2a_1(1-q^n)<a_1$。

2. 讨论首项符号：

• 情况 1：$a_1>0$ $2(1-q^n)<1⟹2-2q^n<1⟹q^n>\frac{1}{2}$。 若此式对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 恒成立，由于 $|q|<1$，当 $n$ 足够大时 $q^n$ 趋近于 0，无法满足 $q^n>\frac{1}{2}$。故 $a_1>0$ 不成立，排除 (A)(C)。

• 情况 2：$a_1<0$ $2(1-q^n)>1⟹2-2q^n>1⟹q^n<\frac{1}{2}$。 若 $q\in (-1,0)$，则当 $n$ 为奇数时 $q^n<0<\frac{1}{2}$ 恒成立； 当 $n$ 为偶数时，$q^n=(q^2{)}^{n/2}$。要使 $(q^2{)}^{n/2}<\frac{1}{2}$ 对所有偶数 $n$ 成立， 只需当 $n=2$ 时成立即可（因为 $n$ 增大时 $(q^2{)}^{n/2}$ 减小），即 $q^2<\frac{1}{2}=0.5$。

3. 校验选项：

• (B) $-0.7<q<-0.6⟹0.36<q^2<0.49<0.5$。符合条件。
• (D) $-0.8<q<-0.7⟹0.49<q^2<0.64$。存在 $q^2>0.5$ 的情况，不恒成立。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 极限的临界性：无穷等比数列中 $q^n$ 的趋向性（趋于 0）是判断恒成立问题的关键。
• 不等式的变向：在消去含有未知参数的项（如 $a_1$）时，必须极其敏感地考虑其正负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：判断选项 A 的条件（$a_1>0$，$0.6<q<0.7$）能否使 $3S_n<S$ 恒成立：化为 $q^n>\frac{2}{3}$ 对一切 $n$ 成立，而 $q^n\to 0$，不能成立——正公比时幂趋于零，任何“下界型”恒成立都会失效。
2. 知识关联：无穷等比数列求和 $S=\frac{a_1}{1-q}$（$|q|<1$）是极限思想的典型应用；含参恒成立问题中先由 $a_1$ 的符号确定不等号方向，再比较 $q^n$ 与临界值，是参变分离的基本功。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III理-14 填-等比数列
• 2017-全国卷II理-03 单-等比数列
• 2017-全国卷I文-17 解-等比数列

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