2016-全国卷I理-10 单-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与几何性质（准线、焦参数 p）、圆的标准方程及其对称性，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(理)） 以抛物线 $C$ 的顶点为圆心的圆交 $C$ 于 $A,B$ 两点，交 $C$ 的准线于 $D,E$ 两点.已知 $|AB|=4\sqrt{2}$，$|DE|=2\sqrt{5}$，则 $C$ 的焦点到准线的距离为 ()

A. 2　　　　　　　B. 4　　　　　　　C. 6　　　　　　　D. 8

🔍【思路分析】

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1. 建系设方程：设抛物线 $C$ 的方程为 $y^2=2px$ ($p>0$)，则顶点为原点 $O(0,0)$，准线方程为 $x=-\frac{p}{2}$。焦点到准线的距离即为 $p$。
2. 表达点坐标：

• 点 A, B：关于 $x$ 轴对称。由于 $|AB|=4\sqrt{2}$，设 $A(x_A,2\sqrt{2})$。代入抛物线方程求出 $x_A$。
• 点 D, E：在准线 $x=-\frac{p}{2}$ 上，关于 $x$ 轴对称。由于 $|DE|=2\sqrt{5}$，设 $D(-\frac{p}{2},\sqrt{5})$。

3. 利用圆的性质：圆心在原点，则 $|OA|=|OD|$（半径 $R$ 相等）。

4. 建立方程：利用勾股定理或距离公式列出关于 $p$ 的方程并求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 设参数：设抛物线 $C:y^2=2px$ ($p>0$)，则准线 $l:x=-\frac{p}{2}$。
2. 确定 A, D 坐标：

• 由 $|AB|=4\sqrt{2}$ 及对称性，令 $A(x_A,2\sqrt{2})$。 代入 $y^2=2px$ 得 $(2\sqrt{2}{)}^2=2p{x}_A⟹x_A=\frac{8}{2p}=\frac{4}{p}$。 故 $A(\frac{4}{p},2\sqrt{2})$。
• 由 $|DE|=2\sqrt{5}$ 及 $D,E$ 在准线上，令 $D(-\frac{p}{2},\sqrt{5})$。

3. 建立等式： 因为 $A,D$ 都在以原点为圆心的同一个圆上，所以 $|OA{|}^2=|OD{|}^2$。 $(\frac{4}{p}{)}^2+(2\sqrt{2}{)}^2=(-\frac{p}{2}{)}^2+(\sqrt{5}{)}^2$ $\frac{16}{p^2}+8=\frac{p^2}{4}+5$ $\frac{16}{p^2}-\frac{p^2}{4}+3=0$
4. 求解 $p$： 两边同乘 $4p^2$ 得：$64-p^4+12p^2=0$ 整理得：$p^4-12p^2-64=0$ 因式分解：$(p^2-16)(p^2+4)=0$ 由于 $p>0$，故 $p^2=16⟹p=4$。 焦点到准线的距离为 $p=4$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心公式：抛物线 $y^2=2px$ 的焦点到准线距离为 $p$。
• 坐标化的威力：对于几何图形的交点问题，建立适当的坐标系并将几何条件转化为代数方程是最稳健的方法。
• 本题的关键在于识别 $|OA|=|OD|$ 是连接抛物线参数与已知长度的唯一桥梁。计算 $p^4$ 方程时，将其看作关于 $p^2$ 的二次方程即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若圆的半径已知，求 $|AB|$ 与 $|DE|$ 的关系。
2. 知识关联：本题综合了圆锥曲线的基本定义与圆的对称性，是全国卷中典型的解析几何中档题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-20 解-抛物线
• 2017-全国卷III理-20 解-抛物线
• 2017-全国卷II文-12 单-抛物线

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