2016-全国卷I理-15 填-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的通项公式、等比数列的前 n 项乘积，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(理)） 设等比数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1+a_3=10,a_2+a_4=5$，则 $a_1{a}_2\dots a_n$ 的最大值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求基本量：利用 $a_n=a_1{q}^{n-1}$。由 $a_2+a_4=q(a_1+a_3)$ 快速求出公比 $q$，进而求出首项 $a_1$。
2. 表达乘积 $P_n$：利用公式 $P_n=a_1^n{q}^{\frac{n(n-1)}{2}}$。
3. 求最值：将 $P_n$ 化为以 $2$ 为底的指数形式。由于底数大于 $1$，只需研究指数部分（关于 $n$ 的二次函数）的最值。

• 注意：$n$ 必须是正整数。若对称轴不是整数，需比较靠近对称轴的两个整数。
• 另一种直观解法：观察各项取值。由于 $a_1=8,q=1/2$，数列项依次为 $8,4,2,1,1/2,\dots$。当项大于 $1$ 时，乘积增大；当项等于 $1$ 时，乘积不变；当项小于 $1$ 时，乘积减小。

✅【答案】

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$64$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 求 $a_1,q$： 由 $a_2+a_4=q(a_1+a_3)$ 得 $5=10q⟹q=\frac{1}{2}$。 代入 $a_1+a_1{q}^2=10$ 得 $a_1(1+\frac{1}{4})=10⟹a_1=8$。
2. 计算乘积 $P_n$： $P_n=a_1\cdot a_2\dots a_n=a_1^n\cdot q^{0+1+2+\cdots +(n-1)}=a_1^n\cdot q^{\frac{n(n-1)}{2}}$ 代入数据：$P_n=8^n\cdot (\frac{1}{2}{)}^{\frac{n^2-n}{2}}=2^{3n}\cdot 2^{-\frac{n^2-n}{2}}=2^{\frac{6n-n^2+n}{2}}=2^{\frac{7n-n^2}{2}}$
3. 寻找最大值： 设 $f(n)=\frac{-n^2+7n}{2}$。其对称轴为 $n=\frac{7}{2}=3.5$。 因为 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$，所以当 $n=3$ 或 $n=4$ 时，$f(n)$ 取得最大值。 $f(3)=\frac{-9+21}{2}=6$；$f(4)=\frac{-16+28}{2}=6$。 最大值 $P_{max}=2^6=64$。

故答案为 $64$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 技巧点拨：本题也可以通过列举项来判断：$a_1=8,a_2=4,a_3=2,a_4=1,a_5=1/2$。
• $P_1=8$
• $P_2=32$
• $P_3=64$
• $P_4=64\times 1=64$
• $P_5=64\times 1/2=32$ 由此可见，$n=3,4$ 时乘积最大，结果为 $64$。
• 易错提醒：指数运算 $3n-\frac{n^2-n}{2}$ 时，注意符号和通分细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若 $a_1=1/8,q=2$，则该乘积是否存在最大值？（否，因为项会趋于无穷大，只有最小值）。
2. 知识关联：数列乘积的最值问题通常转化为函数最值或通过比较相邻两项之商 $P_n/P_{n-1}=a_n$ 与 $1$ 的大小来解决。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III理-14 填-等比数列
• 2017-全国卷II理-03 单-等比数列
• 2017-全国卷I文-17 解-等比数列

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