2016-全国卷III理-17 解-等比数列

本题导读

本题考查数列递推关系求通项公式，以及等比数列的判定与求和。核心在于由 $S_n$ 与 $a_n$ 的关系式消去 $S_n$ 得出相邻项关系。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=1+\lambda a_n$，其中 $\lambda \ne 0$.

(1)证明 $\{a_n\}$ 是等比数列，并求其通项公式；

(2)若 $S_5=\frac{31}{32}$，求 $\lambda$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（由 S_n 求通项）：

• 当 $n=1$ 时，由 $a_1=S_1$ 求出首项 $a_1$。
• 当 $n\ge 2$ 时，利用 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 消去 $S_n$，得到 $a_n$ 与 $a_{n-1}$ 的递推关系。
• 若递推关系可化为 $\frac{a_n}{a_{n-1}}$ = 常数，则由等比数列定义证得 $\{a_n\}$ 为等比数列，并写出通项公式。

2. 第二问（求参数）：

• 利用 $S_5=1+\lambda a_5$ 及通项公式，将条件转化为关于 $\lambda$ 的方程求解。

✅【答案】

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因此(𝜆−1)𝑎𝑛= 𝜆𝑎𝑛−1，即𝑎𝑛=𝜆𝜆−1𝑎𝑛−1

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1)当 $n=1$ 时，$a_1=S_1=1+\lambda a_1$，解得 $a_1=\frac{1}{1-\lambda }$。

当 $n\ge 2$ 时， $a_n=S_n-S_{n-1}=(1+\lambda a_n)-(1+\lambda a_{n-1})=\lambda a_n-\lambda a_{n-1}$， 整理得 $(1-\lambda )a_n=-\lambda a_{n-1}$，即 $a_n=\frac{\lambda }{\lambda -1}{a}_{n-1}$。

所以 $\{a_n\}$ 是以 $\frac{1}{1-\lambda }$ 为首项、以 $\frac{\lambda }{\lambda -1}$ 为公比的等比数列。 故通项公式为 $a_n=\frac{1}{1-\lambda }{\left(\frac{\lambda }{\lambda -1}\right)}^{n-1}$。

(2)由 $S_5=1+\lambda a_5=\frac{31}{32}$，得 $\lambda a_5=-\frac{1}{32}$。

由通项公式，$a_5=\frac{1}{1-\lambda }{\left(\frac{\lambda }{\lambda -1}\right)}^4=\frac{{\lambda }^4}{(1-\lambda )(\lambda -1{)}^4}$。

因为 $(1-\lambda )(\lambda -1{)}^4=-(\lambda -1{)}^5$，所以 $a_5=-\frac{{\lambda }^4}{(\lambda -1{)}^5}$。

于是 $\lambda a_5=-\frac{{\lambda }^5}{(\lambda -1{)}^5}=-{\left(\frac{\lambda }{\lambda -1}\right)}^5=-\frac{1}{32}$， 即 ${\left(\frac{\lambda }{\lambda -1}\right)}^5={\left(\frac{1}{2}\right)}^5$，故 $\frac{\lambda }{\lambda -1}=\frac{1}{2}$，解得 $\lambda =-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 由 S_n 求通项的核心：$a_n=S_n-S_{n-1}$（$n\ge 2$）是求通项的基本工具，务必先验证 $n=1$ 是否也满足该递推式。
• 参数取舍：由 ${\left(\frac{\lambda }{\lambda -1}\right)}^5={\left(\frac{1}{2}\right)}^5$ 直接得出 $\frac{\lambda }{\lambda -1}=\frac{1}{2}$（奇次幂可唯一确定），若为偶次幂则需讨论符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若将条件改为 $S_n=1+\lambda a_{n+1}$，则 $\{a_n\}$ 的递推关系形式会改变，需重新分析。
• 知识关联：本题与「利用 $S_n$ 与 $a_n$ 的关系求通项」一类题同源，是等差、等比数列判定的典型入口。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷I文-17 解-等比数列
• 2017-全国卷III理-14 填-等比数列
• 2016-全国卷III文-17 解-数列

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