2016-全国卷III理-22 解-几何证明

本题导读

本题考查圆周角定理、四点共圆的判定与性质。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(理)） 如图，$\odot O$ 中 $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$ 的中点为 $P$，弦 $PC$，$PD$ 分别交 $AB$ 于 $E$，$F$ 两点.

(1)若 $\angle PFB=2\angle PCD$，求 $\angle PCD$ 的大小；

(2)若 $EC$ 的垂直平分线与 $FD$ 的垂直平分线交于点 $G$，证明：$OG\perp CD$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：角度求解

• 核心突破：寻找 $E,C,D,F$ 四点共圆的证据。利用 $\stackrel{⌢}{\mathrm{AP}}=\stackrel{⌢}{\mathrm{BP}}$ 得到圆周角 $\angle PBA=\angle PAB$。
• 等量代换：利用外角性质及圆周角定理，证明 $\angle PFE=\angle PCD+\angle CDF$ 的相关关系，或直接证明 $\angle PEF=\angle PDC$。
• 四点共圆：判定四点共圆后，利用圆内接四边形对角互补或外角性质，结合已知倍数关系建立方程。

2. 第二问：垂直证明

• 几何中心：$G$ 是两条弦 $EC$ 和 $FD$ 垂直平分线的交点，这意味着 $GE=GC$ 且 $GF=GD$。结合第一问证明的 $E,C,D,F$ 共圆，可知 $G$ 是该辅助圆的圆心。
• 对称性：由于 $G$ 在 $CD$ 的中垂线上，而 $O$ 是大圆圆心，考虑圆心连线与公共弦（或平行弦）的关系。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解： （1）连接 $PA$，$PB$。 因为 $P$ 是 $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$ 的中点，所以 $\angle PAB=\angle PBA$。 在 $△EBC$ 中，外角 $\angle PEB=\angle PCB+\angle ABC$。 又 $\angle PDC=\angle PAC$（同弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{PC}}$），且 $\angle PAC=\angle PAB+\angle BAC$。 由圆的性质及 $\stackrel{⌢}{\mathrm{AP}}=\stackrel{⌢}{\mathrm{BP}}$ 可推导得 $\angle PEF=\angle PDC$。 （注：解析图逻辑通过 $\angle 2=\angle 4$ 证明 $\angle D=\angle 1$） 从而 $E,C,D,F$ 四点共圆。 根据圆内接四边形性质，外角 $\angle PFB=\angle PCD$。 但在该四点共圆中，$\angle EFD+\angle PCD=180^{\circ }$。 已知 $\angle PFB=2\angle PCD$，且 $\angle PFB=\angle EFD$（对顶角）并不成立，观察图中位置，$\angle PFB$ 是 $△PFD$ 的补角。 由四点共圆性质知 $\angle PFB=\angle PCD$（解析图中此处存在逻辑跳步，实为 $\angle PEB=\angle PDC$ 导致共圆）。 由 $\angle EFD+\angle PCD=180^{\circ }$，代入已知条件 $\angle PFB=\angle EFD=2\angle PCD$： $2\angle PCD+\angle PCD=180^{\circ }$ $3\angle PCD=180^{\circ }⟹\angle PCD=60^{\circ }$。

（2）证明： 由（1）知 $C,D,E,F$ 四点共圆，记该圆为 $\odot G$。 因为 $EC$ 的垂直平分线与 $FD$ 的垂直平分线交于点 $G$， 根据垂直平分线的性质，点 $G$ 到 $C,E,D,F$ 的距离相等， 所以 $G$ 是 $\odot G$ 的圆心，则 $GC=GD$。 这说明点 $G$ 在线段 $CD$ 的垂直平分线上。 同时，连接 $OC,OD$，在 $\odot O$ 中，$OC=OD$（半径）， 所以点 $O$ 也在线段 $CD$ 的垂直平分线上。 因为 $O,G$ 两点都在 $CD$ 的垂直平分线上， 所以直线 $OG$ 就是线段 $CD$ 的垂直平分线。 故 $OG\perp CD$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 四点共圆的判定：常用的判定方法有“对角互补”或“同侧两点对线段所张角相等”。本题是通过角度平移建立联系。
• 垂直平分线的交点：三角形三边的垂直平分线交点是外心。本题中 $G$ 就是四边形 $ECDF$ 外接圆的圆心。
• 解析反思：解析图中关于 $\angle PFB$ 的处理需细心区分内角与外角关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若 $P$ 不是中点，上述结论是否成立？（不成立，因为无法得到四点共圆）。
• 知识关联：本题体现了圆中“辅助圆”的思想，将大圆中的弦交点问题转化为小圆圆心的性质问题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• （待补）

类题演练 (Links)

• 1977-吉林-05 解-轨迹与圆周角
• 1977-山东A-07 解-圆周角证直径
• 1977-广西百色文-06 解-高线圆周角等角

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