2016-北京卷理-06 单-三视图

本题导读

本题考查三视图还原几何体、三棱锥的体积公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(理)） 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ()

A. $\frac{1}{6}$　　　　　　　B. $\frac{1}{3}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何体还原：

• 俯视图是一个底为 $1+1=2$，高为 $1$ 的三角形（其中有一条虚线，说明一个侧面或侧棱在上方投影不重合）。
• 正视图和侧视图均为直角三角形，侧视图显示几何体的高为 $1$。
• 综合来看，这是一个顶点在底面投影位于底边中点（或端点）的三棱锥。更具体地说，可以将该几何体放入一个长、宽、高分别为 $2,1,1$ 的长方体中进行观察。

2. 确定关键参数：

• 底面积 $S$：通常取俯视图所示的三角形面积。由图可知，底面三角形底边长为 $1$（对应俯视图左侧部分实线），高为 $1$。注意：俯视图中总跨度为 $2$，但虚线和实线的分布暗示了底面的实际构成。根据三视图对应关系，底面是一个直角边分别为 $1$ 和 $1$ 的直角三角形。
• 高 $h$：由侧视图和正视图可知，三棱锥的高 $h=1$。

3. 应用体积公式：$V=\frac{1}{3}Sh$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 还原几何体： 该几何体是一个三棱锥。底面是俯视图中实线围成的直角三角形，直角边长分别为 $1$ 和 $1$。 三棱锥的一个侧棱垂直于底面（由侧视图的直角边和正视图的投影特征可判定）。
2. 计算底面积： $S_{底}=\frac{1}{2}\times 1\times 1=\frac{1}{2}$。
3. 确定高： 由侧视图可知，三棱锥的高 $h=1$。
4. 计算体积： $V=\frac{1}{3}{S}_{底}h=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{6}$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 虚线的作用：在三视图中，虚线表示被遮挡的棱。本题俯视图中的虚线帮助我们判断顶点投影的位置以及侧面的倾斜情况。
• 对应关系：长对正，高平齐，宽相等。利用这九字口诀可以快速锁定几何体的尺寸。
• 此类题目如果不易直接想象，可以尝试“割补法”，将其看作长方体切掉若干个小棱锥后的剩余部分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若将该三棱锥最长的侧棱长度求出来，应如何计算？（利用勾股定理，$l=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$）。
2. 知识关联：三视图问题是空间想象能力的必考点，常与表面积、体积以及球的接切问题结合。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

A

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-04 填-球的体积
• 2017-全国卷II文-06 单-三视图
• 2017-全国卷II理-04 单-三视图

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