2016-四川卷理-05 单-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的通项公式、指数不等式的求解，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(理)） 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 ()

（参考数据：$\lg 1.12\approx 0.05,\lg 1.3\approx 0.11,\lg 2\approx 0.30$）

A. 2018 年　　　B. 2019 年　　　C. 2020 年　　　D. 2021 年

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立数学模型：设 2015 年为第 1 年（$n=1$），则每年的研发资金构成一个等比数列 $\{a_n\}$。

• 首项 $a_1=130$；
• 公比 $q=1+12\%=1.12$。

2. 列出通项公式：$a_n=130\times (1.12{)}^{n-1}$。
3. 列不等式：题目要求 $a_n>200$，即 $130\times (1.12{)}^{n-1}>200$。
4. 对数求解：化简不等式为 $(1.12{)}^{n-1}>\frac{20}{13}$，两边取常用对数 $\lg$，利用参考数据算出 $n$ 的最小值。
5. 确定年份：年份 = $2015+(n-1)$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 构建不等式： 设从 2015 年起，第 $n$ 年的研发资金超过 200 万元。 则 $130\times (1.12{)}^{n-1}>200$。
2. 化简与对数计算： $(1.12{)}^{n-1}>\frac{20}{13}$ 两边取对数得： $(n-1)\lg 1.12>\lg 20-\lg 13$ $(n-1)\lg 1.12>(1+\lg 2)-(1+\lg 1.3)$ $(n-1)\lg 1.12>\lg 2-\lg 1.3$
3. 代入参考数据： $(n-1)\times 0.05>0.30-0.11$ $0.05(n-1)>0.19$ $n-1>\frac{0.19}{0.05}=3.8$ $n>4.8$
4. 得出结论： 由于 $n$ 为整数，取 $n=5$。 对应的年份为 $2015+(5-1)=2019$ 年。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 增长率模型：基础值为 $A$，年增长率为 $p$，则 $n$ 年后的值为 $A(1+p{)}^n$。注意本题中 $n$ 的定义，若是“$n$ 年后”通常指 $2015+n$，此时公式为 $130\times 1.12^n$。
• 对数估算：在没有计算器的情况下，利用 $\lg \frac{a}{b}=\lg a-\lg b$ 转换是标准操作。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目问的是“研发资金总和”超过某数值，则需要用到等比数列求和公式 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。
• 估算技巧：利用“72法则”（虽然主要用于翻倍估算），$1.12$ 的增长速度大约每 6 年翻倍。从 130 到 200 还没到翻倍（不到 1.6 倍），所以时间应在 3-5 年之间。
• 易错警示：计算 $\lg \frac{20}{13}$ 时，如果不方便直接用 $\lg 13$，可以将其拆解为 $\lg (1.3\times 10)=1+\lg 1.3$，这是处理这类参考数据的常见技巧。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III理-14 填-等比数列
• 2017-全国卷II理-03 单-等比数列
• 2017-全国卷I文-17 解-等比数列

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