2016-四川卷理-19 解-等比数列

本题导读

本题考查数列的递推关系与通项公式、等等比数列的定义与求和公式。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $1$，$S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，$S_{n+1}=q{S}_n+1$，其中 $q>0,n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$.

(1)若 $2a_2,a_3,a_2+2$ 成等差数列，求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2)设双曲线 $x^2-\frac{y^2}{a_n^2}=1$ 的离心率为 $e_n$，且 $e_2=\frac{5}{3}$，证明：$e_1+e_2+\cdots +e_n>\frac{4^n-3^n}{3^{n-1}}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（通项求解）：

• 寻找递推式：由 $S_{n+1}=q{S}_n+1$ 可得 $S_n=q{S}_{n-1}+1$ ($n\ge 2$)。两式相减可得 $a_{n+1}$ 与 $a_n$ 的关系。
• 判定类型：通过计算首项和公比，确认 $\{a_n\}$ 是等比数列。
• 利用等差中项：根据 $2a_2,a_3,a_2+2$ 成等差数列列方程 $2a_3=2a_2+(a_2+2)$，解出 $q$。

2. 第二问（不等式证明）：

• 求离心率表达式：由双曲线方程知 $a=1,b=a_n$，则 $e_n=\sqrt{1+a_n^2}$。
• 确定 q 值：代入 $e_2=\frac{5}{3}$ 算出公比 $q$。
• 放缩求和：由于 $e_n=\sqrt{1+q^{2(n-1)}}$ 直接求和困难，需观察结构进行放缩。由于 $e_n>\sqrt{q^{2(n-1)}}=q^{n-1}$，可以将原和式放缩为一个等比数列求和。

✅【答案】

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（1）$a_n=2^{n-1}$；（2）证明见解析．

✍【详细解析】

Abstract

解： (1)因为 $S_{n+1}=q{S}_n+1$，当 $n\ge 1$ 时，$S_{n+2}=q{S}_{n+1}+1$。 两式相减得：$S_{n+2}-S_{n+1}=q(S_{n+1}-S_n)$，即 $a_{n+2}=q{a}_{n+1}$ ($n\ge 1$)。 又 $S_2=q{S}_1+1⟹a_1+a_2=q{a}_1+1$。 已知 $a_1=1$，得 $1+a_2=q+1$，故 $a_2=q=q{a}_1$。 所以数列 $\{a_n\}$ 是首项为 $1$，公比为 $q$ 的等比数列，$a_n=q^{n-1}$。 由 $2a_2,a_3,a_2+2$ 成等差数列，得 $2a_3=2a_2+(a_2+2)$，即 $2q^2=3q+2$。 解得 $q=2$ 或 $q=-\frac{1}{2}$。 由于 $q>0$，故 $q=2$。 所以 $a_n=2^{n-1}$。

(2)证明： 由双曲线方程 $x^2-\frac{y^2}{a_n^2}=1$ 知，离心率 $e_n=\sqrt{1+a_n^2}=\sqrt{1+q^{2(n-1)}}$。 已知 $e_2=\sqrt{1+q^2}=\frac{5}{3}$，解得 $q^2=\frac{16}{9}$，又 $q>0$，故 $q=\frac{4}{3}$。 则 $e_n=\sqrt{1+(\frac{4}{3}{)}^{2(n-1)}}$。 $e_n=\sqrt{1+q^{2(n-1)}}>\sqrt{q^{2(n-1)}}=q^{n-1}$。 所以 $e_1+e_2+\cdots +e_n>1+q+q^2+\cdots +q^{n-1}$。 右边是首项为 $1$，公比为 $q=\frac{4}{3}$ 的等比数列求和： ${\sum }_{i=1}^n{q}^{i-1}=\frac{1(1-q^n)}{1-q}=\frac{q^n-1}{q-1}=\frac{(\frac{4}{3}{)}^n-1}{\frac{4}{3}-1}=\frac{\frac{4^n-3^n}{3^n}}{\frac{1}{3}}=\frac{4^n-3^n}{3^{n-1}}$。 故 $e_1+e_2+\cdots +e_n>\frac{4^n-3^n}{3^{n-1}}$。证毕。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 数列和与项的关系：利用 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 时，必须分 $n=1$ 和 $n\ge 2$ 讨论，本题中通过证明 $a_2=q{a}_1$ 将两者统一。
• 放缩的技巧：证明 $S>T$ 时，若 $S$ 的每一项 $s_i$ 都大于 $t_i$，且 $\sum t_i$ 易求（通常是等比或裂项），则 $s_i>t_i$ 是最直接的放缩方向。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目要求证明 $e_1+e_2+\cdots +e_n$ 小于某个值，则需要寻找更大的等比数列进行上界放缩。
• 关联考点：本题中双曲线的离心率定义是核心。注意双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ 的 $e=\sqrt{1+(b/a{)}^2}$。
• 易错警示：在第(1)问解得 $q$ 的两个值后，一定要根据题干条件 $q>0$ 进行取舍，否则会导致通项公式错误。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III理-14 填-等比数列
• 2017-全国卷II理-03 单-等比数列
• 2017-全国卷I文-17 解-等比数列

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